Optimización del consumo de agua: Programación lineal

**¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de unidades de lechuga tipo **iceberg**. - $y$: número de unidades de lechuga tipo **romana**. El objetivo es minimizar el consumo total de agua. Según el enunciado, cada unidad de iceberg consume 15 litros y cada una de romana 18 litros. Por tanto, la función objetivo $C(x, y)$ a minimizar es: $$C(x, y) = 15x + 18y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente qué representan $x$ e $y$ es fundamental para plantear el resto de las restricciones sin errores.

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Relación de demanda:** La cantidad de iceberg ($x$) debe ser al menos la mitad de la de romana ($y$): $$x \ge rac{y}{2} \implies 2x \ge y \implies 2x - y \ge 0$$ 2. **Límite de iceberg:** No puede superar las 1500 unidades: $$x \le 1500$$ 3. **Total de cultivo:** Entre 900 y 2400 unidades en total: $$900 \le x + y \le 2400$$ Esto se desglosa en dos inecuaciones: $x + y \ge 900$ y $x + y \le 2400$. 4. **No negatividad:** Lógicamente, las cantidades no pueden ser negativas: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda definido por: $$\begin{cases} 2x - y \ge 0 \\ x \le 1500 \\ x + y \ge 900 \\ x + y \le 2400 \\ x \ge 0, \, y \ge 0 \end{cases}$$

Para hallar la solución óptima, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones y determinamos los vértices de la región factible. Los vértices surgen de las intersecciones de las rectas: - $r_1: y = 2x$ - $r_2: x = 1500$ - $r_3: x + y = 900$ - $r_4: x + y = 2400$ - $r_5: y = 0$ Calculamos los puntos de intersección: - **Vértice A ($r_1 \cap r_3$):** $\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 900 \end{cases} \implies 3x = 900 \implies x=300, y=600$. **$A(300, 600)$** - **Vértice B ($r_1 \cap r_4$):** $\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 2400 \end{cases} \implies 3x = 2400 \implies x=800, y=1600$. **$B(800, 1600)$** - **Vértice C ($r_2 \cap r_4$):** $\begin{cases} x = 1500 \\ x + y = 2400 \end{cases} \implies y = 900$. **$C(1500, 900)$** - **Vértice D ($r_2 \cap r_5$):** $\begin{cases} x = 1500 \\ y = 0 \end{cases} \implies$ **$D(1500, 0)$** (Cumple $x+y \ge 900$) - **Vértice E ($r_3 \cap r_5$):** $\begin{cases} x + y = 900 \\ y = 0 \end{cases} \implies$ **$E(900, 0)$** (Cumple $y \le 2x$) 💡 **Tip:** En los ejercicios de programación lineal, la región factible suele ser un polígono cerrado convexo y el valor óptimo siempre se encuentra en uno de sus vértices.

Evaluamos el consumo de agua $C(x, y) = 15x + 18y$ en cada uno de los vértices hallados: $$\begin{array}{l|l} \text{Vértice } (x, y) & C(x, y) = 15x + 18y \\ \hline A(300, 600) & 15(300) + 18(600) = 4500 + 10800 = 15300 \text{ litros} \\ B(800, 1600) & 15(800) + 18(1600) = 12000 + 28800 = 40800 \text{ litros} \\ C(1500, 900) & 15(1500) + 18(900) = 22500 + 16200 = 38700 \text{ litros} \\ D(1500, 0) & 15(1500) + 18(0) = 22500 \text{ litros} \\ E(900, 0) & 15(900) + 18(0) = 13500 \text{ litros} \end{array}$$ Comparando los resultados, el valor mínimo es **13500 litros**, que se alcanza en el punto $E(900, 0)$. Esto significa que, para minimizar el consumo de agua, el agricultor debe cultivar el mínimo total permitido (900 lechugas) y priorizar el tipo de lechuga que menos consume (iceberg), siempre que se cumplan las restricciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Deben cultivarse 900 unidades de lechuga iceberg y 0 unidades de romana}}$$