Inversión y capital final: Estudio de una función a trozos

**a) (0.75 puntos) ¿Cuánto tiempo debe mantener invertido el dinero si el capital final que se obtiene es de 5931.10 €?** Para resolver este apartado, debemos igualar la función $f(t)$ al capital final deseado y comprobar en qué rama de la función se encuentra la solución. **1. Comprobamos la primera rama ($0 \le t \le 1$):** $$5000 \cdot (1 + 0.05t) = 5931.10$$ Dividimos por 5000: $$1 + 0.05t = \frac{5931.10}{5000} = 1.18622$$ $$0.05t = 1.18622 - 1 = 0.18622$$ $$t = \frac{0.18622}{0.05} = 3.724$$ Como $3.724$ no está en el intervalo $[0, 1]$, esta rama no es válida. **2. Comprobamos la segunda rama ($t > 1$):** $$5000 \cdot 1.05^t = 5931.10$$ Dividimos por 5000: $$1.05^t = \frac{5931.10}{5000} = 1.18622$$ Para despejar la $t$ del exponente, aplicamos logaritmos naturales (ln) en ambos lados: $$\ln(1.05^t) = \ln(1.18622)$$ $$t \cdot \ln(1.05) = \ln(1.18622)$$ $$t = \frac{\ln(1.18622)}{\ln(1.05)} \approx 3.5$$ Como $3.5 > 1$, esta solución es válida. 💡 **Tip:** Recuerda que si la incógnita está en el exponente ($a^x = b$), la forma más sencilla de despejarla es usando logaritmos: $x = \log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 3.5 \text{ años}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule los intereses que obtiene Trinidad entre el año 1 y el año 4, si se conoce que los intereses que genera esta inversión entre el año $t_1$ y el año $t_2$ vienen dados por $I = f(t_2) - f(t_1)$.** Nos piden calcular $I = f(4) - f(1)$. 1. Calculamos $f(1)$ usando la primera rama (ya que incluye el $t=1$): $$f(1) = 5000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 1) = 5000 \cdot 1.05 = 5250 \text{ €}$$ 2. Calculamos $f(4)$ usando la segunda rama (ya que $4 > 1$): $$f(4) = 5000 \cdot 1.05^4 = 5000 \cdot 1.21550625 = 6077.53125 \text{ €}$$ 3. Calculamos la diferencia: $$I = 6077.53125 - 5250 = 827.53125 \text{ €}$$ Redondeando a dos decimales para moneda: ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = 827.53 \text{ €}}$$

**c) (0.75 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$.** La función está compuesta por un polinomio de primer grado y una función exponencial, ambas continuas y derivables en sus dominios. El único punto crítico es el salto entre ramas en **$t=1$**. **Continuidad en $t=1$:** - $f(1) = 5000(1+0.05) = 5250$ - $\lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1} 5000(1+0.05t) = 5250$ - $\lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1} 5000 \cdot 1.05^t = 5000 \cdot 1.05^1 = 5250$ Como $f(1) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t)$, la función es **continua** en $t=1$. **Derivabilidad en $t=1$:** Calculamos la derivada por ramas: $$f'(t) = \begin{cases} 5000 \cdot 0.05 = 250 & 0 \lt t \lt 1 \\ 5000 \cdot 1.05^t \cdot \ln(1.05) & t \gt 1 \end{cases}$$ Comparamos las derivadas laterales en $t=1$: - $f'(1^-) = 250$ - $f'(1^+) = 5000 \cdot 1.05^1 \cdot \ln(1.05) = 5250 \cdot \ln(1.05) \approx 5250 \cdot 0.04879 \approx 256.15$ Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, la función **no es derivable** en $t=1$. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua y, además, sus derivadas laterales deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f es continua en } [0, \infty) \text{ pero no es derivable en } t=1}$$

**d) (0.5 puntos) Estudie la monotonía de la función $f$ y esboce su gráfica.** Para estudiar la monotonía analizamos el signo de $f'(t)$: - En $(0, 1)$, $f'(t) = 250 > 0$. La función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(t) = 5000 \cdot 1.05^t \cdot \ln(1.05)$. Como $5000 > 0$, $1.05^t > 0$ y $\ln(1.05) > 0$, entonces $f'(t) > 0$. La función es **creciente**. $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline f'(t) & + & \nexists & + \\ f(t) & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow \end{array} $$ La función es siempre creciente en su dominio. Para el esbozo: 1. Parte de $(0, 5000)$. 2. Es un segmento de recta hasta $(1, 5250)$. 3. A partir de ahí, crece de forma exponencial suave. **Representación gráfica:**