Probabilidad: Aprobados en Historia y Matemáticas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales a partir de los datos del enunciado: - $H$: "El alumno aprueba Historia". - $M$: "El alumno aprueba Matemáticas". Los datos en términos de probabilidad son: - $P(H) = 0,50$ - $P(M) = 0,70$ - $P(H \cap M) = 0,30$ Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** (o tabla de doble entrada) para visualizar mejor todas las intersecciones y sus complementarios. Los valores en negrita son los datos directos, el resto se obtienen por sumas y restas: $$\begin{array}{c|cc|c} & M & \bar{M} & \text{Total} \\ \hline H & \mathbf{0,30} & 0,20 & \mathbf{0,50} \\ \bar{H} & 0,40 & 0,10 & 0,50 \\ \hline \text{Total} & \mathbf{0,70} & 0,30 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las probabilidades de los sucesos complementarios se calculan como $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Por ejemplo, $P(\bar{M}) = 1 - 0,70 = 0,30$.

**a) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas.** El suceso "aprobar solo una" ocurre si el alumno aprueba Historia pero no Matemáticas ($H \cap \bar{M}$), o si aprueba Matemáticas pero no Historia ($\bar{H} \cap M$). Usando los valores de la tabla anterior: - $P(H \cap \bar{M}) = P(H) - P(H \cap M) = 0,50 - 0,30 = 0,20$ - $P(\bar{H} \cap M) = P(M) - P(H \cap M) = 0,70 - 0,30 = 0,40$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(\text{Solo una}) = P(H \cap \bar{M}) + P(\bar{H} \cap M)$$ $$P(\text{Solo una}) = 0,20 + 0,40 = 0,60$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,60}$$ 💡 **Tip:** Gráficamente, esto corresponde a la unión de las dos "lunas" exteriores en un diagrama de Venn, excluyendo la intersección central.

**b) (0.5 puntos) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura.** El suceso "no aprobar más de una" significa aprobar **0 asignaturas o 1 asignatura**. Esto es equivalente a decir que el alumno **no aprueba las dos a la vez**. Por tanto, es el suceso contrario a $H \cap M$: $$P(\text{No más de una}) = 1 - P(H \cap M)$$ $$P(\text{No más de una}) = 1 - 0,30 = 0,70$$ También podríamos haber sumado las probabilidades de los casos favorables de la tabla: - Suspende ambas ($P(\bar{H} \cap \bar{M}) = 0,10$) - Aprueba solo Historia ($P(H \cap \bar{M}) = 0,20$) - Aprueba solo Matemáticas ($P(\bar{H} \cap M) = 0,40$) $$0,10 + 0,20 + 0,40 = 0,70$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,70}$$

**c) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas.** Estamos ante una probabilidad condicionada. Se nos pide calcular $P(H | \bar{M})$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(H | \bar{M}) = \frac{P(H \cap \bar{M})}{P(\bar{M})}$$ De la tabla o de cálculos anteriores sabemos que: - $P(H \cap \bar{M}) = 0,20$ - $P(\bar{M}) = 1 - P(M) = 0,30$ Sustituimos: $$P(H | \bar{M}) = \frac{0,20}{0,30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{2}{3} \approx 0,6667}$$ 💡 **Tip:** En una probabilidad condicionada, el denominador siempre es la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido (la condición).

**d) (0.5 puntos) Determine si los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Historia" son independientes. ¿Son incompatibles?** **1. Independencia:** Dos sucesos son independientes si se cumple que $P(H \cap M) = P(H) \cdot P(M)$. Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(H) \cdot P(M) = 0,50 \cdot 0,70 = 0,35$$ Como $P(H \cap M) = 0,30$ y $0,30 \neq 0,35$, los sucesos **no son independientes**. **2. Incompatibilidad:** Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si $P(H \cap M) = 0$. En este caso, $P(H \cap M) = 0,30$, que es distinto de cero. Por tanto, los sucesos **no son incompatibles**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes ni tampoco incompatibles}}$$