Probabilidad en excursión a Sierra Nevada

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información de forma clara: * $A$: El alumno viaja en el autobús $A$. * $B$: El alumno viaja en el autobús $B$. * $C$: El alumno viaja en el autobús $C$. * $S$: El alumno sabe esquiar. * $\bar{S}$: El alumno no sabe esquiar. Extraemos las probabilidades del enunciado: * $P(A) = \dfrac{4}{9}$ * $P(B) = \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}$ * Para el autobús $C$, calculamos el resto: $P(C) = 1 - \left(\dfrac{4}{9} + \dfrac{3}{9}\right) = 1 - \dfrac{7}{9} = \dfrac{2}{9}$ Probabilidades condicionadas (saber o no esquiar según el autobús): * $P(\bar{S}|A) = 0,65 \implies P(S|A) = 1 - 0,65 = 0,35$ * $P(\bar{S}|B) = 0,40 \implies P(S|B) = 1 - 0,40 = 0,60$ * $P(S|C) = 1$ (Todos saben esquiar en el bus $C$) 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos elementales (los autobuses en este caso) debe ser siempre igual a 1. Representamos la situación con un **árbol de probabilidad**:

**a) (1 punto) Sepa esquiar.** Para calcular la probabilidad de que un alumno sepa esquiar, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un alumno puede saber esquiar viniendo de cualquiera de los tres autobuses: $$P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B) + P(C) \cdot P(S|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S) = \left( \frac{4}{9} \cdot 0,35 \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 0,60 \right) + \left( \frac{2}{9} \cdot 1 \right)$$ Operamos pasando los decimales a fracciones para mayor precisión: $0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ y $0,60 = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$. $$P(S) = \left( \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{20} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \right) + \frac{2}{9}$$ $$P(S) = \frac{28}{180} + \frac{3}{15} + \frac{2}{9}$$ Simplificamos $\frac{28}{180} = \frac{7}{45}$ y $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} = \frac{9}{45}$. También $\frac{2}{9} = \frac{10}{45}$: $$P(S) = \frac{7}{45} + \frac{9}{45} + \frac{10}{45} = \frac{26}{45} \approx 0,5778$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = \frac{26}{45} \approx 0,5778}$$

**b) (0.75 puntos) Viaje en el autobús $C$, si sabe esquiar.** Se nos pide la probabilidad de que el alumno viaje en el autobús $C$ sabiendo que sabe esquiar, es decir, $P(C|S)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|S) = \frac{P(C \cap S)}{P(S)} = \frac{P(C) \cdot P(S|C)}{P(S)}$$ Utilizamos el valor de $P(S)$ calculado en el apartado anterior: $$P(C|S) = \frac{\frac{2}{9} \cdot 1}{\frac{26}{45}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{26}{45}}$$ Para resolver la división de fracciones, multiplicamos en cruz o por el inverso: $$P(C|S) = \frac{2 \cdot 45}{9 \cdot 26} = \frac{90}{234}$$ Simplificamos dividiendo entre 18: $$P(C|S) = \frac{5}{13} \approx 0,3846$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando conocemos el resultado final (saber esquiar) y queremos hallar la probabilidad de una de las causas (autobús C). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|S) = \frac{5}{13} \approx 0,3846}$$

**c) (0.75 puntos) Sepa esquiar y no viaje en el autobús $B$.** Buscamos la probabilidad de que se cumplan dos condiciones a la vez: que el alumno sepa esquiar ($S$) y que no esté en el autobús $B$ ($\bar{B}$). Si el alumno no viaja en el autobús $B$, debe viajar obligatoriamente en el autobús $A$ o en el $C$. Por tanto, el suceso es $(S \cap A) \cup (S \cap C)$. $$P(S \cap \bar{B}) = P(S \cap A) + P(S \cap C)$$ $$P(S \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(S|A) + P(C) \cdot P(S|C)$$ Sustituimos los valores que ya hemos calculado en el primer paso: $$P(S \cap \bar{B}) = \left( \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{20} \right) + \left( \frac{2}{9} \cdot 1 \right)$$ $$P(S \cap \bar{B}) = \frac{7}{45} + \frac{2}{9} = \frac{7}{45} + \frac{10}{45} = \frac{17}{45}$$ En valor decimal: $$P(S \cap \bar{B}) \approx 0,3778$$ 💡 **Tip:** Otra forma de calcularlo es restando a la probabilidad total de saber esquiar la probabilidad de saber esquiar y ser del bus $B$: $P(S) - P(S \cap B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S \cap \bar{B}) = \frac{17}{45} \approx 0,3778}$$