Intervalo de confianza para la proporción poblacional

**a) (0.5 puntos) Calcule la proporción muestral de estudiantes que tienen carnet de conducir.** El intervalo de confianza para una proporción tiene la forma $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$, donde $\hat{p}$ es la proporción muestral y $E$ es el error máximo admisible. Dado que el intervalo es simétrico respecto a la proporción muestral, $\hat{p}$ coincide con el punto medio del intervalo $(0.5616, 0.7184)$. Lo calculamos sumando los extremos y dividiendo por dos: $$\hat{p} = \frac{0.5616 + 0.7184}{2}$$ $$\hat{p} = \frac{1.28}{2} = 0.64$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cualquier intervalo de confianza de este tipo, el centro del intervalo siempre es el estimador puntual (en este caso, la proporción de la muestra). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\hat{p} = 0.64}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule el error máximo cometido en la estimación de la proporción poblacional.** El error máximo $E$ es el radio del intervalo, es decir, la distancia desde el centro $\hat{p}$ hasta cualquiera de los extremos. Podemos calcularlo restando el valor de la proporción muestral al extremo superior: $$E = 0.7184 - 0.64 = 0.0784$$ También se puede obtener como la mitad de la amplitud (longitud) del intervalo: $$E = \frac{0.7184 - 0.5616}{2} = \frac{0.1568}{2} = 0.0784$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{E = 0.0784}$$

**c) (1 punto) Calcule el tamaño de la muestra seleccionada.** Para hallar el tamaño de la muestra, primero necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95\%$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 3. Calculamos $\frac{\alpha}{2} = 0.025$ 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.9750$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.96$ para el $95\%$ y $2.575$ para el $99\%$. Es muy útil memorizarlos.

Utilizamos la fórmula del error máximo para la proporción: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Donde: - $E = 0.0784$ - $z_{\alpha/2} = 1.96$ - $\hat{p} = 0.64$ - $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.64 = 0.36$ Sustituimos los valores y despejamos $n$: $$0.0784 = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.64 \cdot 0.36}{n}}$$ Dividimos por $1.96$: $$\frac{0.0784}{1.96} = \sqrt{\frac{0.2304}{n}} \implies 0.04 = \sqrt{\frac{0.2304}{n}}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$(0.04)^2 = \frac{0.2304}{n} \implies 0.0016 = \frac{0.2304}{n}$$ Despejamos $n$: $$n = \frac{0.2304}{0.0016} = 144$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 144}$$

**d) (0.5 puntos) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo un aumento del tamaño muestral.** La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error máximo: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Observando la fórmula, vemos que el tamaño de la muestra ($n$) se encuentra en el **denominador** de la expresión. Matemáticamente, esto implica una relación inversa entre la amplitud y la raíz cuadrada del tamaño muestral. Por tanto, si el tamaño muestral $n$ **aumenta**, el valor del error $E$ **disminuye**. En consecuencia, la **amplitud del intervalo disminuirá**, obteniéndose una estimación más precisa (un intervalo más estrecho). 💡 **Tip:** Cuantos más datos tenemos (mayor muestra), menor es la incertidumbre y más estrecho es el intervalo de confianza. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La amplitud del intervalo disminuye (el intervalo se estrecha)}}$$