Distribución de la media muestral y probabilidad normal

**a) (1.25 puntos) Se toma una muestra aleatoria de 25 menores de estas características. ¿Qué distribución sigue la media muestral del tiempo de adaptación? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de adaptación de esta muestra supere los 10 días?** Primero, definimos la variable aleatoria poblacional $X$ como el tiempo de adaptación en días. Según el enunciado: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(10.5, 1.5)$$ Para una muestra aleatoria de tamaño $n = 25$, la distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue también una distribución normal con la misma media $\mu$ y una desviación típica (error típico) de $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Calculamos los parámetros de la media muestral: - Media: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 10.5$ - Desviación típica muestral: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{1.5}{\sqrt{25}} = \dfrac{1.5}{5} = 0.3$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la población original es normal $N(\mu, \sigma)$, la media de las muestras de tamaño $n$ siempre sigue una $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$. ✅ **Resultado (Distribución):** $$\boxed{\bar{X} \sim N(10.5, 0.3)}$$

Para calcular $P(\bar{X} \gt 10)$, debemos estandarizar la variable utilizando la fórmula $Z = \dfrac{\bar{X} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$, donde $Z \sim N(0, 1)$. $$P(\bar{X} \gt 10) = P\left(Z \gt \dfrac{10 - 10.5}{0.3}\right) = P\left(Z \gt \dfrac{-0.5}{0.3}\right) = P(Z \gt -1.67)$$ Por simetría de la distribución normal: $$P(Z \gt -1.67) = P(Z \le 1.67)$$ Buscamos el valor en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.67) = 0.9525$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un número negativo es igual a la probabilidad de que sea menor que ese mismo número en positivo: $P(Z \gt -k) = P(Z \lt k)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 10) = 0.9525}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Qué porcentaje de muestras de tamaño 25 nos proporcionará un tiempo medio de adaptación entre 8 y 11 días?** Se nos pide calcular $P(8 \le ar{X} \le 11)$. Trabajamos con la misma distribución muestral hallada anteriormente: $\bar{X} \sim N(10.5, 0.3)$. Estandarizamos ambos límites: Para $x = 8$: $$Z_1 = \dfrac{8 - 10.5}{0.3} = \dfrac{-2.5}{0.3} = -8.33$$ Para $x = 11$: $$Z_2 = \dfrac{11 - 10.5}{0.3} = \dfrac{0.5}{0.3} = 1.67$$ Por tanto: $$P(8 \le \bar{X} \le 11) = P(-8.33 \le Z \le 1.67) = P(Z \le 1.67) - P(Z \le -8.33)$$ Operamos con los valores de la tabla: - $P(Z \le 1.67) = 0.9525$ - $P(Z \le -8.33) = 1 - P(Z \le 8.33) \approx 1 - 1 = 0$ Entonces: $$P(8 \le \bar{X} \le 11) = 0.9525 - 0 = 0.9525$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100: $$\% = 0.9525 \cdot 100 = 95.25\%$$ 💡 **Tip:** Para valores de $Z$ muy alejados (típicamente $|Z| \gt 4$), la probabilidad acumulada es prácticamente $1$ (si es positivo) o $0$ (si es negativo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{95.25\%}$$