Álgebra 2025 Aragon
Programación lineal: Optimización de dieta deportiva
1.- (10 puntos) Miguel quiere mejorar su rendimiento deportivo y ha decidido complementar su dieta con barritas de proteínas y carbohidratos. Puede elegir entre dos tipos de barritas: A y B. Cada barrita A cuesta 1 euro y 50 céntimos y aporta 20 gramos de proteínas y 10 gramos de carbohidratos. Cada barrita B cuesta 1 euro y 20 céntimos y aporta 10 gramos de proteínas y 15 gramos de carbohidratos. Para cumplir con su plan de entrenamiento, Miguel necesita consumir, al menos, 600 gramos de proteínas y, al menos, 620 gramos de carbohidratos. Además, no puede consumir más de 100 barritas en total.
a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cuántas barritas de cada tipo debe comprar Miguel para que, cumpliendo las restricciones, el coste sea mínimo.
b.- (7 puntos) Resuelva el problema anterior y determine a cuánto asciende dicho coste mínimo.
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cuántas barritas de cada tipo debe comprar Miguel para que, cumpliendo las restricciones, el coste sea mínimo.**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de barritas de tipo A.
- $y$: número de barritas de tipo B.
El objetivo es minimizar el coste total. Según el enunciado, la barrita A cuesta $1,50€$ y la barrita B cuesta $1,20€$. Por tanto, la función objetivo $f(x, y)$ es:
$$f(x, y) = 1,5x + 1,2y$$
💡 **Tip:** Identifica siempre qué te piden optimizar (minimizar o maximizar) para definir correctamente la función objetivo.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en inecuaciones:
1. **Proteínas:** Necesita al menos $600\text{ g}$. La barrita A aporta $20\text{ g}$ y la B aporta $10\text{ g}$.
$$20x + 10y \ge 600 \implies 2x + y \ge 60$$
2. **Carbohidratos:** Necesita al menos $620\text{ g}$. La barrita A aporta $10\text{ g}$ y la B aporta $15\text{ g}$.
$$10x + 15y \ge 620 \implies 2x + 3y \ge 124$$
3. **Cantidad total de barritas:** No puede consumir más de $100$ barritas.
$$x + y \le 100$$
4. **No negatividad:** El número de barritas no puede ser negativo.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
El problema queda planteado como:
$$\text{Minimizar } f(x, y) = 1,5x + 1,2y$$
$$\text{Sujeto a: } \begin{cases} 2x + y \ge 60 \\ 2x + 3y \ge 124 \\ x + y \le 100 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$
Paso 3
Representación de la región factible
**b.- (7 puntos) Resuelva el problema anterior y determine a cuánto asciende dicho coste mínimo.**
Para resolverlo, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para hallar la región factible (zona común a todas las desigualdades).
- $r_1: 2x + y = 60$. Pasa por $(0, 60)$ y $(30, 0)$.
- $r_2: 2x + 3y = 124$. Pasa por $(0, 41,33)$ y $(62, 0)$.
- $r_3: x + y = 100$. Pasa por $(0, 100)$ y $(100, 0)$.
La región factible es el polígono cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas:
- **Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $x+y=100 \implies \mathbf{A(0, 100)}$
- **Vértice B:** Intersección de $y=0$ y $x+y=100 \implies \mathbf{B(100, 0)}$
- **Vértice C:** Intersección de $y=0$ y $2x+3y=124 \implies 2x=124 \implies \mathbf{C(62, 0)}$
- **Vértice D:** Intersección de $2x+y=60$ y $2x+3y=124$.
Restando las ecuaciones: $(2x+3y) - (2x+y) = 124 - 60 \implies 2y = 64 \implies y = 32$.
Sustituyendo en la primera: $2x + 32 = 60 \implies 2x = 28 \implies x = 14$. $\mathbf{D(14, 32)}$
- **Vértice E:** Intersección de $x=0$ y $2x+y=60 \implies \mathbf{E(0, 60)}$
💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal indica que el óptimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento entre ellos).
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos $f(x, y) = 1,5x + 1,2y$ en cada vértice para encontrar el valor mínimo:
- $f(0, 100) = 1,5(0) + 1,2(100) = 120€$
- $f(100, 0) = 1,5(100) + 1,2(0) = 150€$
- $f(62, 0) = 1,5(62) + 1,2(0) = 93€$
- $f(14, 32) = 1,5(14) + 1,2(32) = 21 + 38,4 = 59,4€$
- $f(0, 60) = 1,5(0) + 1,2(60) = 72€$
El coste mínimo es de $59,4€$, que se alcanza comprando $14$ barritas de tipo A y $32$ barritas de tipo B.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Mínimo de } 59,4€ \text{ con } 14 \text{ barritas A y } 32 \text{ barritas B}}$$