Estudio de la evolución de usuarios de una aplicación social

**a.- (3 puntos) Gracias a la campaña previa al lanzamiento, la aplicación ha logrado captar usuarios desde el inicio. Se considera que la campaña ha tenido éxito si el número de usuarios en el momento del lanzamiento ($t=0$) es de, al menos, 100.000. Determine si la campaña ha sido exitosa. Además, calcule cuántos usuarios tendrá la aplicación en un horizonte infinito de tiempo.** Para determinar si la campaña fue exitosa, calculamos el número de usuarios en el instante inicial $t=0$ sustituyendo en la función $N(t)$: $$N(0) = 1.400 \left( \frac{0}{49 + 0^2} + 100 \right)$$ $$N(0) = 1.400 \left( 0 + 100 \right) = 1.400 \cdot 100 = 140.000.$$ Como $140.000 \ge 100.000$, podemos afirmar que la campaña ha sido exitosa. 💡 **Tip:** El momento del lanzamiento siempre corresponde al valor de la variable independiente igual a cero ($t=0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La campaña ha sido exitosa, ya que cuenta con 140.000 usuarios en } t=0}$$

Para calcular el número de usuarios en un horizonte infinito de tiempo, debemos hallar el límite de la función $N(t)$ cuando $t$ tiende a infinito: $$\lim_{t \to +\infty} N(t) = \lim_{t \to +\infty} 1.400 \left( \frac{t}{49 + t^2} + 100 \right)$$ Analizamos el término fraccionario. Como el grado del denominador ($t^2$) es mayor que el grado del numerador ($t$), el límite es $0$: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{t}{49 + t^2} = 0$$ Por lo tanto: $$\lim_{t \to +\infty} N(t) = 1.400 \left( 0 + 100 \right) = 140.000.$$ 💡 **Tip:** En límites al infinito de funciones racionales, si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es siempre 0. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A largo plazo, la aplicación tendrá 140.000 usuarios}}$$

**b.- (7 puntos) Suponiendo que $t \in [1, 14]$, calcule el valor de $t$ en el que la aplicación alcanzará el máximo número de usuarios. ¿Cuántos usuarios tendrá la aplicación en ese momento?, y ¿cuántos días habrán transcurrido desde su lanzamiento?** Para encontrar el máximo en el intervalo $[1, 14]$, primero calculamos la derivada $N'(t)$. Reescribimos la función para facilitar la derivación: $$N(t) = \frac{1.400t}{49 + t^2} + 140.000$$ Derivamos usando la regla del cociente para el primer término: $$N'(t) = 1.400 \cdot \left[ \frac{1 \cdot (49 + t^2) - t \cdot (2t)}{(49 + t^2)^2} \right] + 0$$ $$N'(t) = 1.400 \cdot \left[ \frac{49 + t^2 - 2t^2}{(49 + t^2)^2} \right] = 1.400 \cdot \frac{49 - t^2}{(49 + t^2)^2}$$ 💡 **Tip:** La derivada de una constante es cero. La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$N'(t) = 0 \implies 1.400 \cdot \frac{49 - t^2}{(49 + t^2)^2} = 0 \implies 49 - t^2 = 0$$ $$t^2 = 49 \implies t = \pm 7$$ Como el estudio se restringe al intervalo $t \in [1, 14]$, solo consideramos **$t = 7$**. Analizamos el signo de $N'(t)$ en el intervalo dado para confirmar que es un máximo: $$\begin{array}{c|ccc} t & [1, 7) & 7 & (7, 14] \\ \hline 49 - t^2 & + & 0 & - \\ (49 + t^2)^2 & + & + & + \\ \hline N'(t) & + & 0 & - \\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array}$$ 💡 **Tip:** Al pasar de creciente a decreciente en $t=7$, confirmamos que hay un máximo relativo.

Ahora calculamos los valores solicitados para $t = 7$: 1. **Número de usuarios:** $$N(7) = 1.400 \left( \frac{7}{49 + 7^2} + 100 \right) = 1.400 \left( \frac{7}{98} + 100 \right)$$ $$N(7) = 1.400 \left( \frac{1}{14} + 100 \right) = \frac{1.400}{14} + 140.000 = 100 + 140.000 = 140.100 \text{ usuarios. }$$ 2. **Días transcurridos:** Dado que $t$ se mide en cientos de días: $$\text{Días} = 7 \cdot 100 = 700 \text{ días. }$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El máximo se alcanza en } t=7 \text{ (700 días), con } 140.100 \text{ usuarios}}$$