Probabilidad y Estadística 2025 Aragon
Inferencia de proporciones y Teorema de Bayes
3.- (10 puntos) Una plataforma de streaming desea mejorar su catálogo de películas, para lo cual quiere conocer las preferencias de sus usuarios sobre las películas de Ciencia Ficción y de Comedia, dos de los géneros más populares entre sus suscriptores.
a.- (5 puntos) Con el fin de conocer las preferencias de sus usuarios, la plataforma ha realizado una encuesta entre una muestra aleatoria simple de 300 suscriptores. De estos, 210 han indicado que prefieren ver películas de Ciencia Ficción, mientras que el resto prefieren Comedia. Calcule un intervalo de confianza al 96% para la proporción de suscriptores que prefieren ver Ciencia Ficción.
b.- (5 puntos) La plataforma de streaming investiga si la edad de sus usuarios influye en sus preferencias por el género de Ciencia Ficción. Han descubierto que el 60% de sus usuarios son menores de 30 años y, dentro de este grupo, el 80% prefiere el género de Ciencia Ficción. En cambio, entre los usuarios de 30 años o más, solo el 50% tiene esta preferencia. La plataforma ha decidido premiar a uno de sus usuarios al azar con una suscripción gratuita por un año. Sabemos que el ganador prefiere ver películas de Ciencia Ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que este usuario tenga menos de 30 años?
Paso 1
Identificación de los datos para la proporción
**a.- (5 puntos) Con el fin de conocer las preferencias de sus usuarios, la plataforma ha realizado una encuesta entre una muestra aleatoria simple de 300 suscriptores. De estos, 210 han indicado que prefieren ver películas de Ciencia Ficción, mientras que el resto prefieren Comedia. Calcule un intervalo de confianza al 96% para la proporción de suscriptores que prefieren ver Ciencia Ficción.**
Primero, extraemos los datos de la muestra:
- Tamaño de la muestra: $n = 300$
- Número de éxitos (prefieren Ciencia Ficción): $x = 210$
- Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{210}{300} = 0.7$
- Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$
Ahora determinamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al nivel de confianza del $96\%$:
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04$
- $\alpha/2 = 0.02$
- Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$.
Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.98$, el valor de $z$ es aproximadamente $2.05$.
💡 **Tip:** El intervalo de confianza para una proporción tiene la estructura: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$.
Paso 2
Cálculo del error y del intervalo de confianza
Calculamos el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.05 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{300}}$$
$$E = 2.05 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{300}} = 2.05 \cdot \sqrt{0.0007}$$
$$E \approx 2.05 \cdot 0.02646 \approx 0.0542$$
El intervalo de confianza se obtiene restando y sumando el error a la proporción muestral:
- Límite inferior: $0.7 - 0.0542 = 0.6458$
- Límite superior: $0.7 + 0.0542 = 0.7542$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C. = (0.6458, \, 0.7542)}$$
Paso 3
Planteamiento del problema mediante un árbol de probabilidad
**b.- (5 puntos) La plataforma de streaming investiga si la edad de sus usuarios influye en sus preferencias por el género de Ciencia Ficción. Han descubierto que el 60% de sus usuarios son menores de 30 años y, dentro de este grupo, el 80% prefiere el género de Ciencia Ficción. En cambio, entre los usuarios de 30 años o más, solo el 50% tiene esta preferencia. La plataforma ha decidido premiar a uno de sus usuarios al azar con una suscripción gratuita por un año. Sabemos que el ganador prefiere ver películas de Ciencia Ficción. ¿Cuál es la probabilidad de que este usuario tenga menos de 30 años?**
Definimos los sucesos:
- $M$: El usuario es menor de 30 años.
- $\bar{M}$: El usuario tiene 30 años o más.
- $C$: El usuario prefiere Ciencia Ficción.
- $\bar{C}$: El usuario prefiere Comedia.
Datos del enunciado:
$P(M) = 0.60 \implies P(\bar{M}) = 0.40$
$P(C|M) = 0.80 \implies P(\bar{C}|M) = 0.20$
$P(C|\bar{M}) = 0.50 \implies P(\bar{C}|\bar{M}) = 0.50$
Representamos el árbol de probabilidad:
Paso 4
Cálculo de la probabilidad total
Queremos hallar $P(M|C)$. Primero necesitamos la probabilidad total de que un usuario prefiera Ciencia Ficción, $P(C)$.
Aplicando el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(C) = P(M) \cdot P(C|M) + P(\bar{M}) \cdot P(C|\bar{M})$$
$$P(C) = 0.60 \cdot 0.80 + 0.40 \cdot 0.50$$
$$P(C) = 0.48 + 0.20 = 0.68$$
💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total suma todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $C$).
Paso 5
Aplicación del Teorema de Bayes
Dado que el ganador prefiere Ciencia Ficción, calculamos la probabilidad de que sea menor de 30 años usando el **Teorema de Bayes**:
$$P(M|C) = \frac{P(M) \cdot P(C|M)}{P(C)}$$
$$P(M|C) = \frac{0.60 \cdot 0.80}{0.68} = \frac{0.48}{0.68}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(M|C) = \frac{48}{68} = \frac{12}{17} \approx 0.7059$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(M|C) = \frac{12}{17} \approx 0.7059}$$
💡 **Tip:** Bayes se usa para calcular probabilidades a posteriori, es decir, cuando ya sabemos el resultado final (prefiere Ciencia Ficción) y queremos saber la causa (su edad).