Distribución normal de medias muestrales y ecuaciones matriciales

**Q1.- (5 puntos) Un estudio revela que los estudiantes de bachillerato pasan, en promedio, 3,5 horas haciendo fila para entrar a conciertos, con una desviación típica de 1,8 horas. Se selecciona una muestra aleatoria de 64 estudiantes de bachillerato que asisten esta tarde a un concierto, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de espera para esa muestra sea inferior a 4 horas?** Primero, identificamos los datos del problema relativos a la población: - Media poblacional: $\mu = 3,5$ horas. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 1,8$ horas. - Tamaño de la muestra: $n = 64$ estudiantes. Nos piden la probabilidad de que la **media de la muestra** (que llamaremos $\bar{X}$) sea inferior a 4 horas, es decir, $P(\bar{X} \lt 4)$. 💡 **Tip:** Cuando trabajamos con medias de muestras de tamaño $n$ suficientemente grande ($n \gt 30$), la distribución de la media muestral sigue una normal, incluso si la población original no lo fuera (Teorema Central del Límite).

La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal de parámetros: - Media: $\mu_{\bar{x}} = \mu = 3,5$ - Desviación típica: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ Calculamos la desviación típica de la muestra: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{1,8}{\sqrt{64}} = \frac{1,8}{8} = 0,225$$ Por tanto, la variable $\bar{X}$ se distribuye como: $$\bar{X} \sim N(3,5; \, 0,225)$$ 💡 **Tip:** No confundas la desviación típica de la población ($1,8$) con la de la media muestral ($0,225$). Esta última siempre es menor cuanto mayor es el grupo analizado.

Para calcular $P(\bar{X} \lt 4)$, debemos pasar a la variable normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_{\bar{x}}}{\sigma_{\bar{x}}}$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{X} \lt 4) = P\left(Z \lt \frac{4 - 3,5}{0,225}\right) = P\left(Z \lt \frac{0,5}{0,225}\right) \approx P(Z \lt 2,22)$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ el valor para $2,22$: $$P(Z \lt 2,22) = 0,9868$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 4) = 0,9868}$$ La probabilidad de que el tiempo promedio de espera sea inferior a 4 horas es del **98,68%**.

**Q2.- (5 puntos) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, resuelva la ecuación matricial $AX + 2A = A^2$ despejando previamente $X$.** Operamos con la ecuación para aislar la $X$. Es muy importante respetar el orden de las matrices ya que el producto no es conmutativo. 1. Restamos $2A$ en ambos lados: $$AX = A^2 - 2A$$ 2. Para quitar la $A$ que multiplica a la $X$ por la izquierda, multiplicamos ambos miembros por la inversa $A^{-1}$ por la izquierda: $$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot (A^2 - 2A)$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot A^2 - A^{-1} \cdot 2A$$ $$X = A - 2I$$ donde $I$ es la matriz identidad $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** También podíamos haber factorizado: $AX = A(A - 2I)$. Al multiplicar por $A^{-1}$ queda directamente $X = A - 2I$.

Para que el paso anterior sea válido, $A$ debe tener inversa. Calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz es invertible y nuestra solución es correcta. Calculamos ahora $X = A - 2I$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 - 2 & -1 - 0 \\ -1 - 0 & 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$