Optimización de beneficios en cultivos mediante programación lineal

**a.- (8 puntos) Plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita maximizar el beneficio.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de hectáreas de maíz. - $y$: número de hectáreas de trigo. A continuación, establecemos la **función objetivo**, que representa el beneficio total a maximizar: $$B(x, y) = 800x + 500y$$ Ahora, traducimos las condiciones del enunciado en un sistema de inecuaciones (**restricciones**): 1. **Fertilizante:** $200x + 300y \le 6.000$. Simplificando (dividiendo entre 100): $2x + 3y \le 60$. 2. **Superficie mínima:** $x + y \ge 10$. 3. **Relación entre cultivos:** $x \le y$ (el maíz no excede al trigo). 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$. 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las inecuaciones dividiendo por el máximo común divisor para trabajar con números más manejables al dibujar. $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & B(x,y) = 800x + 500y \\ \text{Sujeto a: } & 2x + 3y \le 60 \\ & x + y \ge 10 \\ & x - y \le 0 \\ & x \ge 0, y \ge 0 \end{aligned}}$$

Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el semiplano solución para cada una: - $r_1: 2x + 3y = 60$. Pasa por $(0, 20)$ y $(30, 0)$. El punto $(0,0)$ cumple $0 \le 60$, así que la región está hacia el origen. - $r_2: x + y = 10$. Pasa por $(0, 10)$ y $(10, 0)$. El punto $(0,0)$ **no** cumple $0 \ge 10$, así que la región está hacia fuera del origen. - $r_3: x = y$. Pasa por $(0, 0)$ y $(10, 10)$. Probando con el punto $(1, 5)$, vemos que $1 \le 5$, por lo que la zona válida es la superior a la recta. Los **vértices** de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas: - **Vértice A** ($r_2 \cap r_3$): $$\begin{cases} x + y = 10 \\ x = y \end{cases} \implies 2x = 10 \implies x=5, y=5 \implies \mathbf{A(5, 5)}$$ - **Vértice B** ($r_1 \cap r_3$): $$\begin{cases} 2x + 3y = 60 \\ x = y \end{cases} \implies 5x = 60 \implies x=12, y=12 \implies \mathbf{B(12, 12)}$$ - **Vértice C** ($r_1 \cap \text{eje } Y$): $$\begin{cases} 2x + 3y = 60 \\ x = 0 \end{cases} \implies 3y = 60 \implies y=20 \implies \mathbf{C(0, 20)}$$ - **Vértice D** ($r_2 \cap \text{eje } Y$): $$\begin{cases} x + y = 10 \\ x = 0 \end{cases} \implies y = 10 \implies \mathbf{D(0, 10)}$$ $$\boxed{Vértices: A(5,5), B(12,12), C(0,20), D(0,10)}$$

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 800x + 500y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(A) = B(5, 5) = 800(5) + 500(5) = 4.000 + 2.500 = 6.500 \text{ €}$ - $B(B) = B(12, 12) = 800(12) + 500(12) = 9.600 + 6.000 = 15.600 \text{ €}$ - $B(C) = B(0, 20) = 800(0) + 500(20) = 10.000 \text{ €}$ - $B(D) = B(0, 10) = 800(0) + 500(10) = 5.000 \text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $B(12, 12)$. 💡 **Tip:** En programación lineal, si la región factible es acotada, el máximo o mínimo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que los une). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio máximo es de 15.600 € plantando 12 ha de maíz y 12 ha de trigo}}$$

**b.- (2 puntos) Considerando la región factible definida en el apartado anterior y suponiendo que el beneficio por hectárea de maíz es de 800 € y el de trigo es de 1.200 €, justifique si (3,18) podría ser una solución óptima del nuevo problema de optimización.** La nueva función de beneficio es $B'(x, y) = 800x + 1200y$. Primero, comprobamos si el punto $(3, 18)$ pertenece a la región factible: - $2(3) + 3(18) = 6 + 54 = 60 \le 60$ (**Se cumple**, está sobre la recta $r_1$). - $3 + 18 = 21 \ge 10$ (**Se cumple**). - $3 \le 18$ (**Se cumple**). - $3 \ge 0, 18 \ge 0$ (**Se cumple**). El punto $(3, 18)$ está en el borde de la región factible, concretamente en el segmento que une los vértices $B(12, 12)$ y $C(0, 20)$. Calculamos el beneficio en los extremos de dicho segmento: - $B'(B) = B'(12, 12) = 800(12) + 1200(12) = 9.600 + 14.400 = 24.000 \text{ €}$ - $B'(C) = B'(0, 20) = 800(0) + 1200(20) = 24.000 \text{ €}$ Al tener el mismo beneficio en ambos vértices, la solución óptima no es un único punto, sino **todo el segmento que los une** (soluciones infinitas). Esto ocurre porque la pendiente de la nueva función objetivo coincide con la pendiente de la restricción $2x + 3y = 60$. 💡 **Tip:** Si dos vértices adyacentes dan el mismo valor máximo, cualquier punto del segmento entre ellos también es solución óptima. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, (3, 18) es una solución óptima pues pertenece al segmento BC donde se alcanza el beneficio máximo de 24.000 €}}$$