Continuidad y optimización del beneficio mensual

**a.- (4 puntos) Justifique si la función $B(x)$ es continua.** Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, primero analizamos cada una de sus ramas de forma individual: 1. En el intervalo $(0, 3)$, la función es $B(x) = 2x(32 - 4x) = 64x - 8x^2$. Al ser una función **polinómica de segundo grado**, es continua en todo su dominio, y por tanto, en el intervalo abierto $(0, 3)$. 2. En el intervalo $(3, 9)$, la función es $B(x) = -20x + 180$. Al ser una función **polinómica de primer grado** (recta), es continua en todo su dominio, y por tanto, en el intervalo abierto $(3, 9)$. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el valor de separación de las ramas, es decir, en **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el valor de la función, existen los límites laterales y todos coinciden: $B(a) = \lim_{x \to a^-} B(x) = \lim_{x \to a^+} B(x)$.

Para que $B(x)$ sea continua en $x = 3$, comprobamos los límites laterales y el valor de la función: - **Valor de la función:** $$B(3) = 2(3)(32 - 4 \cdot 3) = 6(32 - 12) = 6(20) = 120$$ - **Límite por la izquierda ($x \to 3^-$):** $$\lim_{x \to 3^-} B(x) = \lim_{x \to 3} (64x - 8x^2) = 64(3) - 8(3)^2 = 192 - 72 = 120$$ - **Límite por la derecha ($x \to 3^+$):** $$\lim_{x \to 3^+} B(x) = \lim_{x \to 3} (-20x + 180) = -20(3) + 180 = -60 + 180 = 120$$ Como $B(3) = \lim_{x \to 3^-} B(x) = \lim_{x \to 3^+} B(x) = 120$, la función no presenta ningún salto entre ramas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } B(x) \text{ es continua en todo su dominio } [0, 9].}$$

**b.- (6 puntos) Calcule el precio unitario al que la empresa debe vender el producto para obtener el máximo beneficio e indique a cuánto asciende dicho valor.** Para encontrar el máximo beneficio, estudiaremos la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función utilizando la primera derivada $B'(x)$: $$B'(x) = \begin{cases} 64 - 16x & \text{si } 0 \lt x \lt 3 \\ -20 & \text{si } 3 \lt x \lt 9 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero en cada tramo: 1. En la primera rama: $64 - 16x = 0 \implies 16x = 64 \implies x = 4$. *Nota:* El valor $x=4$ **no pertenece** al intervalo $(0, 3)$, por lo que no hay puntos críticos en el interior de este tramo. 2. En la segunda rama: $-20 = 0$. Esto es imposible, por lo que no hay puntos críticos en este tramo. 💡 **Tip:** El máximo de una función en un intervalo cerrado puede estar en los puntos donde la derivada es cero, en los puntos donde no existe la derivada (como los cambios de rama) o en los extremos del intervalo ($x=0$ y $x=9$).

Analizamos el signo de $B'(x)$ en los intervalos de definición: - **Intervalo $(0, 3)$:** Si tomamos un valor como $x=1$, $B'(1) = 64 - 16(1) = 48 \gt 0$. La función es **creciente**. - **Intervalo $(3, 9)$:** La derivada es siempre $-20 \lt 0$. La función es **decreciente**. **Tabla de signos de $B'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 3) & 3 & (3, 9)\\\hline B'(x) & + & \nexists & -\\\hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece hasta $x=3$ y decrece a partir de $x=3$, el máximo absoluto se alcanza en **$x = 3$**. 💡 **Tip:** En las funciones a trozos continuas, si una rama sube hasta el punto de unión y la siguiente baja, el máximo está justo en ese punto de unión.

Ya sabemos que el precio unitario óptimo es $x = 3$ €. Calculamos ahora el beneficio correspondiente: $$B(3) = 120$$ Recordando que el beneficio está expresado en **miles de euros**, el beneficio asciende a $120 \times 1000 = 120.000$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Precio: } 3\text{ €} \quad \text{Beneficio máximo: } 120.000\text{ €}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "B(x)=\\{0\\le x\\le 3: 2x(32-4x), 3 < x \\le 9: -20x+180\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(3, 120)", "color": "#ef4444", "label": "Máximo (3, 120)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -1, "right": 10, "bottom": -10, "top": 140 } } }