Probabilidad y Estadística 2025 Aragon
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en una cafetería
3.- (10 puntos) En la cafetería de un museo de arte contemporáneo, famosa por sus bebidas personalizadas y su ambiente artístico, los visitantes pueden elegir entre tres tipos de consumiciones preparadas de manera especial: café, té o bebida fría. Entre los jóvenes que frecuentan la cafetería, el 40% prefieren el café, el 35% eligen el té y el 25% optan por una bebida fría. Además, se sabe que, entre quienes prefieren el café, el 50% lo toman sin azúcar; entre quienes eligen el té, el 80% lo toman sin azúcar; y entre quienes prefieren una bebida fría, el 40% la toman sin azúcar.
a.- (4 puntos) Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar haya pedido una bebida fría sin azúcar.
b.- (6 puntos) Se selecciona un joven al azar y sabemos que ha pedido una consumición sin azúcar, calcule la probabilidad de que haya pedido una bebida fría.
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama en árbol
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales basados en el enunciado:
- $C$: El joven elige café.
- $T$: El joven elige té.
- $F$: El joven elige bebida fría.
- $A$: El joven toma la bebida con azúcar.
- $\bar{A}$: El joven toma la bebida sin azúcar.
Los datos de probabilidad son:
- $P(C) = 0.40$
- $P(T) = 0.35$
- $P(F) = 0.25$
Las probabilidades condicionadas (tomar la bebida sin azúcar dado el tipo de bebida) son:
- $P(\bar{A}|C) = 0.50$
- $P(\bar{A}|T) = 0.80$
- $P(\bar{A}|F) = 0.40$
Representamos la situación con un árbol de probabilidad:
Paso 2
Probabilidad de bebida fría sin azúcar
**a.- (4 puntos) Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar haya pedido una bebida fría sin azúcar.**
Nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que la bebida sea fría ($F$) **y** que sea sin azúcar ($\bar{A}$).
Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la intersección:
$$P(F \cap \bar{A}) = P(F) \cdot P(\bar{A}|F)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(F \cap \bar{A}) = 0.25 \cdot 0.40 = 0.10$$
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la probabilidad de una intersección se calcula multiplicando las probabilidades de las ramas que llegan a ese suceso.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F \cap \bar{A}) = 0.10}$$
Paso 3
Probabilidad total de tomar una consumición sin azúcar
**b.- (6 puntos) Se selecciona un joven al azar y sabemos que ha pedido una consumición sin azúcar, calcule la probabilidad de que haya pedido una bebida fría.**
Este es un problema de probabilidad condicionada inversa (Teorema de Bayes). Para resolverlo, primero necesitamos conocer la probabilidad total de que un joven tome una bebida sin azúcar, $P(\bar{A})$.
Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(\bar{A}) = P(C) \cdot P(\bar{A}|C) + P(T) \cdot P(\bar{A}|T) + P(F) \cdot P(\bar{A}|F)$$
Calculamos cada término:
- Por café: $0.40 \cdot 0.50 = 0.20$
- Por té: $0.35 \cdot 0.80 = 0.28$
- Por bebida fría: $0.25 \cdot 0.40 = 0.10$
Sumamos los resultados:
$$P(\bar{A}) = 0.20 + 0.28 + 0.10 = 0.58$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total consiste en sumar todas las formas posibles (caminos del árbol) en las que puede ocurrir el suceso final (sin azúcar).
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
Ahora que sabemos que la bebida es sin azúcar (suceso condicionado), calculamos la probabilidad de que provenga de la opción "bebida fría" usando el **Teorema de Bayes**:
$$P(F|\bar{A}) = \frac{P(F \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$$
Sustituimos los valores que hemos obtenido en los pasos anteriores:
$$P(F|\bar{A}) = \frac{0.10}{0.58}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(F|\bar{A}) = \frac{10}{58} = \frac{5}{29} \approx 0.1724$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(F|\bar{A}) \approx 0.1724}$$