Ecuación matricial y cálculo de áreas con integrales

**Q1.- (5 puntos) Determine el orden de la matriz $X$ para que la ecuación matricial $3AX - B = C$ esté bien planteada, siendo $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -3 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 6 & 9 & -6 \end{pmatrix}$. Resuelva la ecuación matricial despejando previamente $X$.** Para que la resta $3AX - B$ y la igualdad con $C$ sean posibles, todas las matrices deben tener las mismas dimensiones. 1. Observamos que las matrices $B$ y $C$ son de orden **$2 \times 3$** (2 filas y 3 columnas). 2. Por tanto, el producto $AX$ también debe dar como resultado una matriz de orden **$2 \times 3$**. 3. Sabemos que $A$ es una matriz de orden **$2 \times 2$**. 4. Según la regla del producto de matrices: para multiplicar una matriz $(m \times n)$ por otra $(n \times p)$, el resultado es $(m \times p)$. En nuestro caso: $(2 \times 2) \cdot (\text{filas}_X \times \text{cols}_X) = (2 \times 3)$. Esto implica que $X$ debe tener **2 filas** (para coincidir con las columnas de $A$) y **3 columnas** (para que el resultado tenga 3 columnas). 💡 **Tip:** Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, la matriz producto $AB$ es de orden $m \times p$. ✅ **Resultado (orden):** $$\boxed{X \in \mathcal{M}_{2 \times 3} (\text{Orden } 2 \times 3)}$$

Primero, despejamos $X$ en la ecuación $3AX - B = C$: $$3AX = C + B$$ $$AX = \frac{1}{3}(C + B)$$ Multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ (si existe): $$X = A^{-1} \cdot \left[ \frac{1}{3}(C + B) \right]$$ Calculamos **$A^{-1}$**: $|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = 2 - 1 = 1.$ Como $|A| \neq 0$, la inversa existe. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: $A_{11} = 1, \quad A_{12} = -1$ $A_{21} = -1, \quad A_{22} = 2$ $Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^T = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}.$ $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero la matriz suma $M = \frac{1}{3}(B + C)$: $$B + C = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -3 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 \\ 6 & 9 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 3 \\ 9 & 9 & -3 \end{pmatrix}$$ Dividimos por 3: $$M = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 9 & 3 \\ 9 & 9 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X = A^{-1} \cdot M$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (1\cdot 1 + (-1)\cdot 3) & (1\cdot 3 + (-1)\cdot 3) & (1\cdot 1 + (-1)\cdot(-1)) \\ ((-1)\cdot 1 + 2\cdot 3) & ((-1)\cdot 3 + 2\cdot 3) & ((-1)\cdot 1 + 2\cdot(-1)) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1-3 & 3-3 & 1+1 \\ -1+6 & -3+6 & -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 5 & 3 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ 5 & 3 & -3 \end{pmatrix}}$$

**Q2.- (5 puntos) Una finca está delimitada por un río cuyo curso puede describirse mediante la ecuación $y = (x - 2)^2 + 1$ y por un camino que tiene como dirección la ecuación $y = 2x$. Calcule el área de la finca y su precio total.** Para calcular el área encerrada entre las dos funciones, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan igualando ambas ecuaciones: $$(x - 2)^2 + 1 = 2x$$ Desarrollamos el binomio: $$x^2 - 4x + 4 + 1 = 2x \implies x^2 - 6x + 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$$ Los límites de integración son $x=1$ y $x=5$. 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ desde $a$ hasta $b$ se calcula como $\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$. $$\boxed{\text{Límites: } x=1, x=5}$$

Determinamos cuál es la función superior en el intervalo $(1, 5)$. Si probamos con $x=2$: - Camino: $y = 2(2) = 4$ - Río: $y = (2-2)^2 + 1 = 1$ El camino está por encima del río. Planteamos la integral: $$A = \int_{1}^{5} [2x - ((x-2)^2 + 1)] \, dx = \int_{1}^{5} (2x - x^2 + 4x - 5) \, dx = \int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) \, dx$$ Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$I(x) = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - 5x \right] = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]$$ $$A = I(5) - I(1)$$ $$I(5) = -\frac{125}{3} + 3(25) - 5(5) = -\frac{125}{3} + 75 - 25 = -\frac{125}{3} + 50 = \frac{-125 + 150}{3} = \frac{25}{3}$$ $$I(1) = -\frac{1}{3} + 3(1) - 5(1) = -\frac{1}{3} - 2 = \frac{-1 - 6}{3} = -\frac{7}{3}$$ $$A = \frac{25}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{32}{3} \approx 10.67 \text{ km}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{32}{3} \text{ km}^2 \approx 10.67 \text{ km}^2}$$

Convertimos el área de $\text{km}^2$ a hectáreas (ha): Como $1 \text{ km}^2 = 100 \text{ ha}$: $$\text{Área en ha} = \frac{32}{3} \cdot 100 = \frac{3200}{3} \approx 1066.67 \text{ ha}$$ Calculamos el precio total sabiendo que $1 \text{ ha} = 3.000$ €: $$\text{Precio} = \frac{3200}{3} \cdot 3000 = 3200 \cdot 1000 = 3.200.000 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de revisar las unidades. Aquí pasamos de kilómetros cuadrados a hectáreas antes de aplicar el precio. ✅ **Resultado (precio final):** $$\boxed{3.200.000 \text{ €}}$$