Asíntotas de funciones y Tamaño muestral para proporciones

**Q1.- (5 puntos) Justifique la existencia (o ausencia) de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas para la función $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2}$. En caso de que existan, indique sus respectivas ecuaciones.** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x - 2 = 0 \implies x = 2.$$ $$Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}.$$ Para comprobar si hay una **asíntota vertical (AV)** en $x = 2$, calculamos el límite: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2}{x - 2} = \frac{2^2 + 2}{2 - 2} = \frac{6}{0} = \pm\infty.$$ Calculamos los límites laterales para precisar el comportamiento: - Por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + 2}{x - 2} = \frac{6}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + 2}{x - 2} = \frac{6}{0^+} = +\infty$ 💡 **Tip:** Si el límite en un punto $a$ es infinito, entonces $x=a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 2}$$

Para hallar las **asíntotas horizontales (AH)**, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2}{x - 2}.$$ Como el grado del numerador (2) es mayor que el grado del denominador (1), el límite es infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 2}{x - 2} = \pm\infty.$$ Como el límite no es un valor finito $L$, concluimos que **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es mayor que el del denominador, no hay AH. Si la diferencia de grados es exactamente 1, existirá una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas horizontales}}$$

Puesto que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, buscamos una **asíntota oblicua (AO)** de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x(x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2x} = 1.$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx] = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^2 + 2}{x - 2} - 1 \cdot x \right]$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2 - x(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2 - x^2 + 2x}{x - 2}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 2}{x - 2} = 2.$$ La ecuación de la asíntota oblicua es $y = 1x + 2$. 💡 **Tip:** También puedes hallar la AO realizando la división polinómica de $x^2+2$ entre $x-2$. El cociente resultante es la ecuación de la recta. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x + 2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=(x^2+2)/(x-2)", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x=2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ao", "latex": "y=x+2", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DASHED" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 15, "bottom": -10, "top": 20 } } }

**Q2.- (5 puntos) ¿Cuántas personas deben encuestar como mínimo para estimar la proporción de quienes estarían dispuestos a colaborar con la ONG, con un error máximo del 5% y con un nivel de confianza del 94%?** Extraemos los datos del enunciado para el cálculo del tamaño muestral de una proporción: - Proporción estimada (experiencias previas): $\hat{p} = 0,25$. - Complemento de la proporción: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,25 = 0,75$. - Error máximo admisible: $E = 5\% = 0,05$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 94\% = 0,94$. 💡 **Tip:** Si no nos dieran $\hat{p}$, usaríamos el caso más desfavorable $\hat{p} = 0,5$.

Para un nivel de confianza del $94\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,94 \implies \alpha = 0,06$. 2. $\alpha / 2 = 0,03$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,03 = 0,97$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: - $P(Z \le 1,88) = 0,9699$ - $P(Z \le 1,89) = 0,9706$ El valor más próximo es $z_{\alpha/2} \approx 1,88$. 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica el área central de la campana de Gauss. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor en el eje horizontal que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha.

La fórmula para el error en la estimación de una proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Despejamos $n$ (tamaño de la muestra): $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,88)^2 \cdot 0,25 \cdot 0,75}{(0,05)^2}$$ $$n = \frac{3,5344 \cdot 0,1875}{0,0025}$$ $$n = \frac{0,6627}{0,0025} = 265,08.$$ Como el número de personas debe ser un número entero y buscamos el mínimo para no superar ese error, debemos **redondear siempre al entero superior**. ✅ **Resultado (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 266 \text{ personas}}$$