Sistema de ecuaciones: Venta de lotes gourmet

**Tarea 1.1A [1,2 PUNTOS]. Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de lotes vendidos de cada tipo ese día.** En primer lugar, definimos las incógnitas del problema según lo que nos preguntan: - $x$: número de Lotes Clásicos vendidos. - $y$: número de Lotes Selección vendidos. - $z$: número de Lotes Premium vendidos. Traducimos la información del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1) La tienda vende un total de 33 lotes: $$x + y + z = 33$$ 2) Los ingresos totales son de 855 euros (multiplicamos el precio de cada lote por su cantidad): $$20x + 30y + 45z = 855$$ 3) El número de Lotes Clásicos ($x$) fue el triple que el número de Selección ($y$): $$x = 3y \implies x - 3y = 0$$ 💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para evitar confusiones en los pasos siguientes. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 33 \\ 20x + 30y + 45z = 855 \\ x - 3y = 0 \end{cases}}$$

**Tarea 1.1B [1 PUNTO]. Analice la compatibilidad de dicho sistema.** Escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A'$): $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 20 & 30 & 45 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}; \quad A' = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 33 \\ 20 & 30 & 45 & 855 \\ 1 & -3 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 20 & 30 & 45 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 30 \cdot 0) + (1 \cdot 45 \cdot 1) + (1 \cdot 20 \cdot (-3)) - (1 \cdot 30 \cdot 1) - (1 \cdot 20 \cdot 0) - (45 \cdot (-3) \cdot 1)$$ $$|A| = 0 + 45 - 60 - 30 - 0 + 135 = 90$$ Como $|A| = 90 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3 ($rg(A) = 3$). 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema $3 \times 3$ es distinto de cero, el rango es automáticamente 3, que es el máximo posible.

Dado que el rango de $A$ es 3, y la matriz ampliada $A'$ no puede tener un rango mayor que su número de filas (3), deducimos que: $$rg(A) = rg(A') = 3$$ Como el número de incógnitas también es 3 ($x, y, z$): - Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Esto significa que el sistema tiene una **única solución**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (Solución única)}}$$

**Tarea 1.1C [0,8 PUNTOS]. Si se puede, calcule cuántos lotes de cada tipo (Clásico, Selección y Premium) se vendieron ese día.** Podemos resolver el sistema por el método de Cramer o sustitución. Usaremos sustitución ya que la tercera ecuación es muy sencilla: $x = 3y$. Sustituimos $x = 3y$ en las otras dos ecuaciones: 1) $(3y) + y + z = 33 \implies 4y + z = 33$ 2) $20(3y) + 30y + 45z = 855 \implies 60y + 30y + 45z = 855 \implies 90y + 45z = 855$ Simplificamos la segunda ecuación dividiendo entre 45: $$2y + z = 19$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} 4y + z = 33 \\ 2y + z = 19 \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones: $(4y + z) - (2y + z) = 33 - 19$ $$2y = 14 \implies y = 7$$ Sustituimos $y=7$ para hallar $x$ y $z$: - $x = 3(7) = 21$ - $z = 19 - 2(7) = 19 - 14 = 5$ 💡 **Tip:** Siempre verifica la solución en las ecuaciones originales. $21+7+5 = 33$ (correcto) y $20(21)+30(7)+45(5) = 420+210+225 = 855$ (correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se vendieron 21 Lotes Clásicos, 7 Lotes Selección y 5 Lotes Premium}}$$