Optimización de la producción de envases

**Tarea 1.2A [1 PUNTO]. Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.** Primero definimos las variables de decisión: - $x$: número de botellas de plástico fabricadas. - $y$: número de tuppers fabricados. Como los datos de consumo están en gramos (g) y las disponibilidades en kilogramos (kg), debemos unificar unidades: - Plástico rígido: $160 \text{ kg} = 160000 \text{ g}$. - Plástico flexible: $100 \text{ kg} = 100000 \text{ g}$. **Restricciones:** 1. Plástico rígido: $200x + 400y \le 160000$. Simplificando entre 200: $x + 2y \le 800$. 2. Plástico flexible: $300x + 100y \le 100000$. Simplificando entre 100: $3x + y \le 1000$. 3. Producción de tuppers: $y \le x + 100$ (no superar en más de 100 a las botellas). 4. No negatividad: $x \ge 0, y \ge 0$. **Función Objetivo:** Queremos maximizar los ingresos $I(x,y)$: $$f(x,y) = 5x + 7y$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que todas las unidades en las inecuaciones sean iguales (todo en gramos o todo en kilogramos). $$\boxed{\begin{cases} x + 2y \le 800 \\ 3x + y \le 1000 \\ y - x \le 100 \\ x, y \ge 0 \end{cases} \quad f(x,y) = 5x + 7y}$$

**Tarea 1.2B [1 PUNTO]. Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.** Para hallar los vértices, resolvemos los sistemas de ecuaciones de las rectas que delimitan la región: - **Punto A (Origen):** Intersección de $x=0$ e $y=0$. **$A(0, 0)$**. - **Punto B:** Intersección de $x=0$ y $y-x=100 \implies y=100$. **$B(0, 100)$**. - **Punto C:** Intersección de $y=x+100$ y $x+2y=800$: $$x + 2(x+100) = 800 \implies 3x + 200 = 800 \implies 3x = 600 \implies x=200, y=300.$$ **$C(200, 300)$**. - **Punto D:** Intersección de $x+2y=800$ y $3x+y=1000$. Despejamos $y=1000-3x$ en la primera: $$x + 2(1000-3x) = 800 \implies x + 2000 - 6x = 800 \implies -5x = -1200 \implies x=240.$$ $$y = 1000 - 3(240) = 1000 - 720 = 280.$$ **$D(240, 280)$**. - **Punto E:** Intersección de $3x+y=1000$ e $y=0$: $$3x = 1000 \implies x = \frac{1000}{3} \approx 333.33.$$ **$E(333.33, 0)$**. 💡 **Tip:** Representamos las rectas hallando un par de puntos por donde pasan para dibujar la región factible. $$\boxed{A(0,0), B(0,100), C(200,300), D(240,280), E(333.33, 0)}$$

**Tarea 1.2C [0,75 PUNTOS]. ¿Cuántos envases de cada tipo se deben fabricar para maximizar los ingresos?** Evaluamos la función objetivo $f(x,y) = 5x + 7y$ en cada uno de los vértices de la región factible: - $f(0, 0) = 5(0) + 7(0) = 0$ € - $f(0, 100) = 5(0) + 7(100) = 700$ € - $f(200, 300) = 5(200) + 7(300) = 1000 + 2100 = 3100$ € - $f(240, 280) = 5(240) + 7(280) = 1200 + 1960 = 3160$ € - $f(333.33, 0) = 5(333.33) + 7(0) \approx 1666.65$ € El valor máximo se alcanza en el punto $D(240, 280)$. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal indica que el óptimo se encuentra siempre en un vértice de la región factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 240 botellas y 280 tuppers}}$$

**Tarea 1.2D [0,25 PUNTOS]. ¿A cuánto ascienden los ingresos obtenidos?** Utilizamos el valor calculado en el paso anterior para el punto óptimo $D(240, 280)$: $$I = 5 \cdot 240 + 7 \cdot 280$$ $$I = 1200 + 1960 = 3160 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los ingresos ascienden a 3160 euros}}$$