Estudio de función a trozos: continuidad, representación y área

**Tarea 2.1A [1,5 PUNTOS]. Estudie la continuidad de la función $f(x)$.** Analizamos la continuidad de la función rama por rama: 1. En el intervalo $(-\infty, 6)$, la función es $f(x) = (x-4)^2 - 4$. Al ser una **función polinómica** (una parábola), es continua en todo su dominio de definición. 2. En el intervalo $(6, +\infty)$, la función es $f(x) = 16 - (x-10)^2$. De igual forma, al ser una **función polinómica**, es continua en su intervalo. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el valor de salto entre ramas, $x = 6$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada rama y además los límites laterales coinciden con el valor de la función en los puntos de separación.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 6$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales: 1. **Valor de la función:** $$f(6) = (6 - 4)^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0.$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 6^-$):** $$\lim_{x \to 6^-} f(x) = \lim_{x \to 6^-} ((x - 4)^2 - 4) = (6 - 4)^2 - 4 = 0.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 6^+$):** $$\lim_{x \to 6^+} f(x) = \lim_{x \to 6^+} (16 - (x - 10)^2) = 16 - (6 - 10)^2 = 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0.$$ Como $f(6) = \lim_{x \to 6^-} f(x) = \lim_{x \to 6^+} f(x) = 0$, la función es continua en $x = 6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

**Tarea 2.1B [1 PUNTO]. Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados y realice un esbozo de la misma.** **Corte con el eje OY (abscisa $x=0$):** Como $0 \le 6$, usamos la primera rama: $$f(0) = (0-4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12 \implies \mathbf{(0, 12)}$$ **Corte con el eje OX (ordenada $f(x)=0$):** Analizamos cada rama: - **Rama 1 ($x \le 6$):** $$(x-4)^2 - 4 = 0 \implies (x-4)^2 = 4 \implies x-4 = \pm 2$$ Esto nos da $x = 6$ y $x = 2$. Ambos valores cumplen $x \le 6$. - **Rama 2 ($x \gt 6$):** $$16 - (x-10)^2 = 0 \implies (x-10)^2 = 16 \implies x-10 = \pm 4$$ Esto nos da $x = 14$ y $x = 6$. Solo $x = 14$ cumple $x \gt 6$ ($x=6$ ya se obtuvo en la primera rama). ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{\text{Eje OY: } (0, 12) \quad \text{Eje OX: } (2, 0), (6, 0), (14, 0)}$$

Para realizar el esbozo, identificamos que ambas ramas son parábolas: - **Rama 1 ($x \le 6$):** $f(x) = (x-4)^2 - 4$. Es una parábola convexa (abre hacia arriba) con vértice en **$(4, -4)$**. - **Rama 2 ($x \gt 6$):** $f(x) = 16 - (x-10)^2$. Es una parábola cóncava (abre hacia abajo) con vértice en **$(10, 16)$**. Ambas se unen suavemente en $(6, 0)$.

**Tarea 2.1C [1,5 PUNTOS]. Calcule el área del recinto delimitado por la curva $f(x)$ y el eje de abscisas $OX$ en el intervalo $[2, 6]$.** En el intervalo $[2, 6]$, la función viene definida por la primera rama: $f(x) = (x-4)^2 - 4$. Desarrollamos la expresión para facilitar la integración: $$f(x) = x^2 - 8x + 16 - 4 = x^2 - 8x + 12$$ Evaluamos el signo de la función en $[2, 6]$. Como el vértice está en $x=4$ y $f(4)=-4$, y los cortes con el eje OX son $x=2$ y $x=6$, la función es **negativa** en este intervalo. Por tanto, el área es el valor absoluto de la integral (o la integral de $-f(x)$): $$Área = \int_{2}^{6} |f(x)| \, dx = \int_{2}^{6} -(x^2 - 8x + 12) \, dx = \int_{2}^{6} (-x^2 + 8x - 12) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} - 12x \right] = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x^2 - 12x \right]$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$F(6) = -\frac{6^3}{3} + 4(6^2) - 12(6) = -72 + 144 - 72 = 0$$ $$F(2) = -\frac{2^3}{3} + 4(2^2) - 12(2) = -\frac{8}{3} + 16 - 24 = -\frac{8}{3} - 8 = -\frac{32}{3}$$ $$Área = F(6) - F(2) = 0 - \left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser positiva. Si la función queda por debajo del eje OX, integra el valor negativo de la función. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Área = \frac{32}{3} \approx 10,67 \text{ u}^2}$$