Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**Tarea 3.1A [1,5 PUNTOS]. Calcule el intervalo de confianza del 93% para el valor promedio del tiempo dedicado al ejercicio físico por semana.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$ (tiempo semanal de ejercicio), que sigue una distribución normal: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 25$ minutos. - Tamaño de la muestra: $n = 100$ alumnos. - Media muestral obtenida: $\bar{x} = 180$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,93$ (o $93\%$). 💡 **Tip:** En los problemas de estimación de la media de una población normal con $\sigma$ conocida, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución $N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Para construir el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $93\%$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0,93 \implies \alpha = 0,07$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0,035$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que el área a su izquierda sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,035 = 0,965.$$ Buscamos en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ el valor más cercano a $0,965$. Observamos que para $z = 1,81$ la probabilidad es $0,9649$. Por lo tanto, tomamos: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 1,81}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano. Aquí $0,965$ está casi exactamente en $1,81$.

El error de estimación $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1,81 \cdot \frac{25}{\sqrt{100}}$$ $$E = 1,81 \cdot \frac{25}{10} = 1,81 \cdot 2,5$$ $$E = 4,525 \text{ minutos}$$ Este es el margen que sumaremos y restaremos a la media muestral.

El intervalo de confianza viene dado por la expresión: $$I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Calculamos los extremos: - Límite inferior: $180 - 4,525 = 175,475$ - Límite superior: $180 + 4,525 = 184,525$ ✅ **Resultado final del intervalo:** $$\boxed{I.C. = (175,475 \, ; \, 184,525)}$$

**Tarea 3.1B [1,5 PUNTOS]. Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de la media, con un nivel de confianza del 97,5%, sea de 5 minutos.** En este nuevo escenario, cambian las condiciones: - Error máximo permitido: $E = 5$ minutos. - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,975$. - La desviación típica sigue siendo $\sigma = 25$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0,975 = 0,025$. 2. $\alpha/2 = 0,0125$. 3. Buscamos el valor tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,0125 = 0,9875$. Buscando en la tabla $N(0,1)$, encontramos el valor exacto para $z = 2,24$. $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2,24}$$

Partimos de la fórmula del error y despejamos el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los datos: $$n = \left( \frac{2,24 \cdot 25}{5} \right)^2$$ Simplificamos la fracción: $$n = (2,24 \cdot 5)^2$$ $$n = (11,2)^2 = 125,44$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de 5 minutos, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que no excedemos dicho error. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba, independientemente de la cifra decimal. ✅ **Resultado final (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 126 \text{ alumnos}}$$