Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**Tarea 1.1A [1 PUNTO]. Estudie para qué valores del parámetro $a$ la matriz $M$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $M$ utilizando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & a & 1 \\ 1 & 6 & 5 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (1 \cdot a \cdot 5) + (0 \cdot 1 \cdot 1) + (a \cdot 0 \cdot 6) - [(1 \cdot a \cdot a) + (6 \cdot 1 \cdot 1) + (5 \cdot 0 \cdot 0)]$$ $$|M| = (5a + 0 + 0) - (a^2 + 6 + 0) = -a^2 + 5a - 6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $M^{-1}$, el determinante debe ser no nulo. Los valores que anulan el determinante son los que debemos excluir.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ en los que la matriz no tiene inversa: $$-a^2 + 5a - 6 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $a^2 - 5a + 6 = 0$. Resolvemos mediante la fórmula cuadrática: $$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $a_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $a_2 = \frac{4}{2} = 2$ Por tanto, la matriz $M$ tiene inversa para todos los valores reales de $a$ excepto $2$ y $3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}}$$

**Tarea 1.1B [2 PUNTOS]. Para $a = 1$, obtenga la matriz $X$ de la siguiente ecuación: $MX = 2N$.** Primero comprobamos si para $a=1$ existe la inversa. Como $1 \neq 2$ y $1 \neq 3$, el determinante es: $$|M|_{a=1} = -(1)^2 + 5(1) - 6 = -2 \neq 0$$ Para despejar $X$ en la ecuación $MX = 2N$, multiplicamos por la izquierda por $M^{-1}$: $$M^{-1} M X = M^{-1} (2N)$$ $$I \cdot X = 2(M^{-1} N)$$ $$X = 2 M^{-1} N$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Para $a=1$, la matriz es $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 6 & 5 \end{pmatrix}$. Calculamos $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M^T)$. 1. Matriz traspuesta $M^T$: $$M^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$ 2. Matriz adjunta de la traspuesta: - $A_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 6 \\ 1 & 5 \end{smallmatrix}| = 5-6 = -1$ - $A_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 6 \\ 1 & 5 \end{smallmatrix}| = -(0-6) = 6$ - $A_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}| = 0-1 = -1$ - $A_{21} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 5 \end{smallmatrix}| = -(0-1) = 1$ - $A_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 5 \end{smallmatrix}| = 5-1 = 4$ - $A_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}| = -(1-0) = -1$ - $A_{31} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6 \end{smallmatrix}| = 0-1 = -1$ - $A_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 6 \end{smallmatrix}| = -(6-0) = -6$ - $A_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1-0 = 1$ $$M^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & 6 & -1 \\ 1 & 4 & -1 \\ -1 & -6 & 1 \end{pmatrix}$$

Sustituimos en $X = 2 M^{-1} N$. Para simplificar, calculamos primero $M^{-1} (2N)$: $$2N = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos el producto matricial: $$X = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & 6 & -1 \\ 1 & 4 & -1 \\ -1 & -6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} (-1)(2)+6(0)+(-1)(2) & (-1)(0)+6(4)+(-1)(-2) & (-1)(2)+6(0)+(-1)(2) \\ 1(2)+4(0)+(-1)(2) & 1(0)+4(4)+(-1)(-2) & 1(2)+4(0)+(-1)(2) \\ (-1)(2)+(-6)(0)+1(2) & (-1)(0)+(-6)(4)+1(-2) & (-1)(2)+(-6)(0)+1(2) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & 26 & -4 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & -26 & 0 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento entre $-2$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -13 & 2 \\ 0 & -9 & 0 \\ 0 & 13 & 0 \end{pmatrix}}$$