Álgebra 2025 Cantabria
Problema de programación lineal: producción de sobaos y quesadas
Opción 2.
Un pastelero dispone de un máximo de 810 minutos para producir una serie de sobaos y quesadas. Para la elaboración de cada sobao se requieren 45 minutos y 200 gramos de mantequilla, y para la elaboración de cada quesada se requieren 90 minutos y 100 gramos de mantequilla. Por limitaciones logísticas, la cantidad total de sobaos y quesadas producidas no puede exceder de 11 unidades y se dispone únicamente de 1600 gramos de mantequilla. El beneficio que se obtiene por cada sobao es de 1,5€ y el que se obtiene por cada quesada es de 2€. La intención del pastelero es maximizar el beneficio total. Realice las siguientes tareas:
Tarea 1.2A [1 PUNTO]. Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.
Tarea 1.2B [1 PUNTO]. Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.
Tarea 1.2C [0,75 PUNTOS]. ¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total?
Tarea 1.2D [0,25 PUNTOS]. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del problema
**Tarea 1.2A [1 PUNTO]. Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.**
Primero, definimos las variables de decisión:
- $x$: número de sobaos a producir.
- $y$: número de quesadas a producir.
**1. Función objetivo:** Queremos maximizar el beneficio total $B(x, y)$. Sabiendo que cada sobao da 1,5€ y cada quesada 2€:
$$\boxed{f(x, y) = 1,5x + 2y}$$
**2. Restricciones:** Traducimos las limitaciones del enunciado a inecuaciones:
- **Tiempo:** $45x + 90y \le 810$. Simplificando (dividiendo entre 45): $x + 2y \le 18$.
- **Mantequilla:** $200x + 100y \le 1600$. Simplificando (dividiendo entre 100): $2x + y \le 16$.
- **Producción total:** $x + y \le 11$.
- **No negatividad:** Al tratarse de objetos físicos, no pueden ser negativos: $x \ge 0, y \ge 0$.
💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones de las restricciones te ayudará a trabajar con números más pequeños al dibujar las rectas y calcular los vértices.
Paso 2
Dibujo de la región factible
**Tarea 1.2B [1 PUNTO]. Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.**
Para dibujar la región factible, representamos las fronteras (rectas) de cada restricción:
1. $r_1: x + 2y = 18$
- Si $x=0 \implies y=9$. Punto $(0, 9)$.
- Si $y=0 \implies x=18$. Punto $(18, 0)$.
2. $r_2: 2x + y = 16$
- Si $x=0 \implies y=16$. Punto $(0, 16)$.
- Si $y=0 \implies x=8$. Punto $(8, 0)$.
3. $r_3: x + y = 11$
- Si $x=0 \implies y=11$. Punto $(0, 11)$.
- Si $y=0 \implies x=11$. Punto $(11, 0)$.
La región factible es el polígono delimitado por estas rectas y los ejes en el primer cuadrante.
💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta está la solución, prueba con el punto $(0,0)$. Por ejemplo, en $x+y \le 11$, $0+0 \le 11$ es cierto, por lo que la región incluye el origen.
Paso 3
Cálculo de los vértices
Los vértices se hallan resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan:
- **Vértice A:** Origen de coordenadas: **$A(0, 0)$**.
- **Vértice B:** Corte de $r_1$ con el eje $Y$ ($x=0$):
$0 + 2y = 18 \implies y = 9$. **$B(0, 9)$**.
- **Vértice C:** Corte de $r_1$ ($x+2y=18$) y $r_3$ ($x+y=11$):
Restando ambas: $(x+2y) - (x+y) = 18 - 11 \implies y = 7$.
Sustituyendo: $x + 7 = 11 \implies x = 4$. **$C(4, 7)$**.
- **Vértice D:** Corte de $r_2$ ($2x+y=16$) y $r_3$ ($x+y=11$):
Restando ambas: $(2x+y) - (x+y) = 16 - 11 \implies x = 5$.
Sustituyendo: $5 + y = 11 \implies y = 6$. **$D(5, 6)$**.
- **Vértice E:** Corte de $r_2$ con el eje $X$ ($y=0$):
$2x + 0 = 16 \implies x = 8$. **$E(8, 0)$**.
Los vértices de la región factible son: $A(0,0), B(0,9), C(4,7), D(5,6)$ y $E(8,0)$.
Paso 4
Optimización de la función beneficio
**Tarea 1.2C [0,75 PUNTOS]. ¿Cuántos sobaos y cuántas quesadas se deben fabricar para maximizar el beneficio total?**
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 1,5x + 2y$ en cada uno de los vértices hallados:
- $f(0, 0) = 1,5(0) + 2(0) = 0€$
- $f(0, 9) = 1,5(0) + 2(9) = 18€$
- $f(4, 7) = 1,5(4) + 2(7) = 6 + 14 = 20€$
- $f(5, 6) = 1,5(5) + 2(6) = 7,5 + 12 = 19,5€$
- $f(8, 0) = 1,5(8) + 2(0) = 12€$
El valor máximo se alcanza en el punto $C(4, 7)$.
✅ **Resultado:**
Se deben fabricar **$\boxed{4 \text{ sobaos y } 7 \text{ quesadas}}$**.
Paso 5
Cálculo del beneficio máximo
**Tarea 1.2D [0,25 PUNTOS]. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?**
Como hemos calculado en el paso anterior, el beneficio máximo corresponde al valor de la función en el vértice $C(4, 7)$.
$$f(4, 7) = 1,5 \cdot 4 + 2 \cdot 7 = 6 + 14 = 20$$
✅ **Resultado:**
El beneficio máximo asciende a **$\boxed{20€}$**.