Estudio de función polinómica: monotonía, extremos, representación y área

**Tarea 2.1A [1,5 PUNTOS]. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función e identifique los extremos relativos.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), primero expandimos la función para facilitar la derivación: $$f(x) = (x + 2)(x^2 - 6x + 9)$$ $$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2x^2 - 12x + 18$$ $$f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 18$$ Calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 - 8x - 3$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero ($f'(x) = 0$): $$3x^2 - 8x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$$ Esto nos da dos posibles valores: 1. $x_1 = \frac{18}{6} = 3$ 2. $x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Dividimos la recta real en intervalos según los puntos críticos encontrados ($x = -1/3$ y $x = 3$) y estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/3) & -1/3 & (-1/3, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1/3)$, probamos $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 8(-1) - 3 = 8 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(-1/3, 3)$, probamos $x = 0$: $f'(0) = -3 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(3, +\infty)$, probamos $x = 4$: $f'(4) = 3(16) - 8(4) - 3 = 13 \gt 0$ (**Creciente**). 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(x) \gt 0$ la función crece, y si $f'(x) \lt 0$ decrece. ✅ **Intervalos:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -1/3) \cup (3, +\infty); \quad \text{Decreciente: } (-1/3, 3)}$$

A partir del estudio anterior, identificamos los extremos: - Hay un **Máximo relativo** en $x = -1/3$: $$f(-1/3) = (-1/3 + 2)(-1/3 - 3)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{5}{3} \cdot \frac{100}{9} = \frac{500}{27} \approx 18.52$$ - Hay un **Mínimo relativo** en $x = 3$: $$f(3) = (3 + 2)(3 - 3)^2 = 5 \cdot 0 = 0$$ ✅ **Extremos:** $$\boxed{\text{Máximo: } \left(-\frac{1}{3}, \frac{500}{27}\right); \quad \text{Mínimo: } (3, 0)}$$

**Tarea 2.1B [1 PUNTO]. Estudie los puntos de corte de la gráfica de la función $f(x)$ con los ejes coordenados. A continuación, represente gráficamente $f(x)$ señalando dichos puntos de corte y los extremos relativos.** **Corte con el eje OY (abscisa $x=0$):** $$f(0) = (0 + 2)(0 - 3)^2 = 2 \cdot 9 = 18 \implies \mathbf{(0, 18)}$$ **Corte con el eje OX (ordenada $f(x)=0$):** $$(x + 2)(x - 3)^2 = 0$$ Esto ocurre cuando: - $x + 2 = 0 \implies x = -2 \implies \mathbf{(-2, 0)}$ - $(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 \implies \mathbf{(3, 0)}$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje OX son las raíces del polinomio. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\text{Eje OY: } (0, 18); \quad \text{Eje OX: } (-2, 0) \text{ y } (3, 0)}$$

Utilizando los puntos de corte, los extremos relativos y la monotonía, representamos la función. - Pasa por $(-2, 0)$, $(0, 18)$ y $(3, 0)$. - Crece hasta el máximo en $(-0.33, 18.52)$, baja hasta el mínimo en $(3, 0)$ y vuelve a subir.

**Tarea 2.1C [1,5 PUNTOS]. Calcule el área del recinto delimitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas $OX$.** El recinto está delimitado por la función y el eje OX entre las raíces de la función. Según el apartado anterior, las raíces son $x = -2$ y $x = 3$. Dado que en el intervalo $[-2, 3]$ la función es siempre positiva (ya que $(x-3)^2 \ge 0$ y $(x+2) \ge 0$ para $x \ge -2$), el área viene dada por la integral definida: $$Area = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = \int_{-2}^{3} (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función fuera negativa en parte del intervalo, deberíamos tomar el valor absoluto de la integral en esa región.

Calculamos la primitiva de la función: $$F(x) = \int (x^3 - 4x^2 - 3x + 18) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 18x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$Area = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 18x \right]_{-2}^{3} = F(3) - F(-2)$$ Calculamos $F(3)$: $$F(3) = \frac{3^4}{4} - \frac{4 \cdot 3^3}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 18(3) = \frac{81}{4} - 36 - \frac{27}{2} + 54 = 20.25 - 36 - 13.5 + 54 = 24.75$$ Calculamos $F(-2)$: $$F(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - \frac{4(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} + 18(-2) = \frac{16}{4} - \frac{-32}{3} - \frac{12}{2} - 36 = 4 + \frac{32}{3} - 6 - 36 = \frac{32}{3} - 38 = \frac{32-114}{3} = -\frac{82}{3} \approx -27.33$$ Finalizamos el cálculo: $$Area = 24.75 - \left(-\frac{82}{3}\right) = \frac{99}{4} + \frac{82}{3} = \frac{297 + 328}{12} = \frac{625}{12} \approx 52.083$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \frac{625}{12} \text{ u}^2 \approx 52.08 \text{ u}^2}$$