Intervalo de confianza y tamaño de la muestra

**Tarea 3.1A [1,5 PUNTOS]. Calcule el intervalo de confianza del 93% para la media de los viajes mensuales.** En primer lugar, extraemos la información proporcionada por el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa el número de viajes mensuales: - La población sigue una distribución normal: $N(\mu, \sigma)$. - Desviación estándar poblacional: $\sigma = 5$. - Tamaño de la muestra: $n = 225$. - Media muestral: $\bar{x} = 21$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,93$. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación conocida se calcula mediante la fórmula: $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$.

Para un nivel de confianza del 93%, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,93 \implies \alpha = 0,07$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0,035$. 3. Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,035 = 0,965.$$ Buscando en la tabla normal: - Para $z = 1,81$, la probabilidad es $0,9649$. - Para $z = 1,82$, la probabilidad es $0,9656$. El valor más cercano es **$z_{\alpha/2} = 1,81$**. 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, tomamos el más cercano o realizamos una interpolación lineal. En este caso, $1,81$ es una aproximación muy precisa.

Ahora calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,81 \cdot \frac{5}{\sqrt{225}} = 1,81 \cdot \frac{5}{15} = 1,81 \cdot \frac{1}{3} \approx 0,6033.$$ Construimos el intervalo centrado en la media muestral $\bar{x} = 21$: - Límite inferior: $21 - 0,6033 = 20,3967$. - Límite superior: $21 + 0,6033 = 21,6033$. ✅ **Resultado del apartado A:** $$\boxed{I.C. = (20,40; 21,60)}$$ (Redondeado a dos decimales).

**Tarea 3.1B [1,5 PUNTOS]. Determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para que el error en la estimación de dicha media, con un nivel de confianza del 97%, sea de 1 viaje al mes.** En este nuevo escenario, los parámetros cambian: - Desviación estándar: $\sigma = 5$. - Error máximo permitido: $E = 1$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$. 💡 **Tip:** El error viene dado por $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Para hallar el tamaño de la muestra, despejamos $n$: $n = \left( \dfrac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$.

Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del 97%: 1. $1 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03$. 2. $\alpha/2 = 0,015$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985$. Mirando en la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: Encontramos que para el valor $2,17$, la probabilidad es exactamente $0,9850$. Por tanto: **$z_{\alpha/2} = 2,17$**.

Sustituimos los valores en la fórmula despejada de $n$: $$n = \left( \frac{2,17 \cdot 5}{1} \right)^2 = (10,85)^2 = 117,7225.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** 1, debemos redondear siempre al número entero superior para garantizar que el error no supere el límite establecido. $n \ge 117,7225 \implies n = 118$. ✅ **Resultado del apartado B:** $$\boxed{n = 118 \text{ usuarios}}$$