Probabilidad de accidentes por tramos de edad

Para resolver este ejercicio de probabilidad, lo primero es definir los sucesos que intervienen basándonos en los tramos de edad y en si se presentó parte o no. **Sucesos de edad:** - $J$: El cliente tiene menos de 30 años (Joven). - $M$: El cliente tiene entre 30 y 60 años (Maduro). - $V$: El cliente tiene más de 60 años (Veterano). **Sucesos de accidentes:** - $A$: El cliente presenta un parte de accidente. - $\bar{A}$: El cliente no presenta ningún parte. **Datos proporcionados:** - $P(J) = 0.17$ - $P(M) = 0.60$ - $P(V) = 1 - (0.17 + 0.60) = 1 - 0.77 = 0.23$ **Probabilidades condicionadas (No presentaron parte):** - $P(\bar{A}|J) = \frac{3}{5} = 0.6 \implies P(A|J) = 1 - 0.6 = 0.4$ - $P(\bar{A}|M) = \frac{9}{10} = 0.9 \implies P(A|M) = 1 - 0.9 = 0.1$ - $P(\bar{A}|V) = \frac{3}{4} = 0.75 \implies P(A|V) = 1 - 0.75 = 0.25$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que forman una partición (como las edades) debe ser 1.

Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad para visualizar mejor los caminos:

**Tarea 3.2A [1 PUNTO]. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente seleccionado presentara un parte de accidente el año pasado?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de presentar un parte $P(A)$ es la suma de las probabilidades de presentar un parte en cada grupo de edad: $$P(A) = P(J) \cdot P(A|J) + P(M) \cdot P(A|M) + P(V) \cdot P(A|V)$$ Sustituimos los valores: $$P(A) = 0.17 \cdot 0.4 + 0.60 \cdot 0.1 + 0.23 \cdot 0.25$$ $$P(A) = 0.068 + 0.06 + 0.0575$$ $$P(A) = 0.1855$$ 💡 **Tip:** En el árbol, esto corresponde a sumar las ramas que terminan en el suceso $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.1855}$$

**Tarea 3.2B [1 PUNTO]. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga 30 años o más y no presentara un parte de accidente el año pasado?** Tener 30 años o más engloba los sucesos $M$ (30 a 60) y $V$ (> 60). Buscamos la probabilidad de que ocurra una de esas edades **y** que no presentara parte ($\bar{A}$): $$P((M \cup V) \cap \bar{A}) = P(M \cap \bar{A}) + P(V \cap \bar{A})$$ Calculamos cada término: - $P(M \cap \bar{A}) = P(M) \cdot P(\bar{A}|M) = 0.60 \cdot 0.9 = 0.54$ - $P(V \cap \bar{A}) = P(V) \cdot P(\bar{A}|V) = 0.23 \cdot 0.75 = 0.1725$ Sumamos ambos resultados: $$P(\text{Edad} \ge 30 \cap \bar{A}) = 0.54 + 0.1725 = 0.7125$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Edad} \ge 30 \cap \bar{A}) = 0.7125}$$

**Tarea 3.2C [1 PUNTO]. Si se sabe que el cliente presentó un parte de accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 30 años?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(J|A)$: $$P(J|A) = \frac{P(J \cap A)}{P(A)} = \frac{P(J) \cdot P(A|J)}{P(A)}$$ Ya conocemos los valores del apartado A: - $P(J \cap A) = 0.17 \cdot 0.4 = 0.068$ - $P(A) = 0.1855$ Calculamos el cociente: $$P(J|A) = \frac{0.068}{0.1855} \approx 0.366576$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(J|A) \approx 0.3666$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' (edad) dado un 'efecto' (accidente). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(J|A) \approx 0.3666}$$