Optimización de la producción mediante programación lineal

**1. [3 puntos] Una empresa fabrica dos tipos de máquinas, A y B... determinar el número de unidades de cada tipo de máquina que se han de fabricar mensualmente para obtener el beneficio máximo... ¿A cuánto asciende ese beneficio?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de máquinas del tipo A fabricadas mensualmente. - $y$: número de máquinas del tipo B fabricadas mensualmente. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por unidad de tipo A es 250 € y por unidad de tipo B es 200 €. Por tanto, la función objetivo $B(x, y)$ es: $$B(x, y) = 250x + 200y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre qué te piden maximizar o minimizar; eso definirá tu función objetivo.

A partir de los datos del enunciado, establecemos el sistema de inecuaciones que limita la producción: 1. Producción mínima de A: al menos 6 unidades. $$x \ge 6$$ 2. Producción máxima de B: como mucho 15 unidades. $$y \le 15$$ 3. Restricción de coste: el coste total no debe superar los 12000 €. $$500x + 300y \le 12000$$ 4. Restricciones de no negatividad (aunque $x \ge 6$ ya lo implica, para $y$ es necesario especificarlo): $$y \ge 0$$ Podemos simplificar la restricción del coste dividiendo por 100: $$5x + 3y \le 120$$ 💡 **Tip:** Simplificar las ecuaciones de las rectas facilita el cálculo de los puntos de corte más adelante.

Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el área común. - Recta $r_1: x = 6$ (vertical). - Recta $r_2: y = 15$ (horizontal). - Recta $r_3: y = 0$ (eje $X$). - Recta $r_4: 5x + 3y = 120$. Si $x=0, y=40$; si $y=0, x=24$. La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las desigualdades simultáneamente.

Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las rectas que la limitan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 6$ y $y = 0$. $$\mathbf{A(6, 0)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 6$ y $y = 15$. $$\mathbf{B(6, 15)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $y = 15$ y $5x + 3y = 120$. Sustituimos $y=15$ en la ecuación: $$5x + 3(15) = 120 \implies 5x + 45 = 120 \implies 5x = 75 \implies x = 15$$ $$\mathbf{C(15, 15)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $y = 0$ y $5x + 3y = 120$. Sustituimos $y=0$: $$5x + 3(0) = 120 \implies 5x = 120 \implies x = 24$$ $$\mathbf{D(24, 0)}$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los únicos candidatos a ser la solución óptima en un problema de programación lineal.

Evaluamos $B(x, y) = 250x + 200y$ en cada vértice para encontrar el beneficio máximo: - Para $A(6, 0)$: $B(6, 0) = 250(6) + 200(0) = 1500$ € - Para $B(6, 15)$: $B(6, 15) = 250(6) + 200(15) = 1500 + 3000 = 4500$ € - Para $C(15, 15)$: $B(15, 15) = 250(15) + 200(15) = 3750 + 3000 = 6750$ € - Para $D(24, 0)$: $B(24, 0) = 250(24) + 200(0) = 6000$ € El valor máximo se alcanza en el punto $C(15, 15)$, con un beneficio de $6750$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 15 máquinas tipo A y 15 máquinas tipo B. El beneficio máximo es de 6750 €}}$$