Cantidad de combustible en un depósito

**2.1 [1.5 puntos] Determinar la cantidad de litros de gasolina almacenada inicialmente y al cabo de 108 minutos.** Para hallar la cantidad de gasolina almacenada inicialmente, debemos evaluar la función en el instante $t = 0$ horas. Observando la definición de la función a trozos: $$f(t) = \begin{cases} \frac{3}{4}t^2 + 2 & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ \frac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$ Como el valor $t=0$ pertenece al primer intervalo ($0 \le t \le 2$), sustituimos en la primera rama: $$f(0) = \frac{3}{4}(0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2.$$ El enunciado indica que $f(t)$ se mide en **miles de litros**, por lo que: $$2 \times 1000 = 2000 \text{ litros}.$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos fijarnos en las unidades de medida. Aquí, el resultado de la función debe multiplicarse por 1000 para obtener los litros reales. ✅ **Resultado inicial:** $$\boxed{2000 \text{ litros}}$$

Para calcular la cantidad al cabo de 108 minutos, primero debemos convertir ese tiempo a **horas**, ya que la variable $t$ de la función está definida en horas. Realizamos la conversión dividiendo los minutos entre 60: $$t = \frac{108 \text{ min}}{60 \text{ min/h}} = 1.8 \text{ horas}.$$ 💡 **Tip:** Es fundamental que las unidades del dato que nos dan coincidan con las de la variable independiente de la función antes de operar.

Ahora evaluamos la función en $t = 1.8$. Debemos decidir qué rama utilizar comprobando los intervalos: - Como $1.8 \le 2$, seguimos utilizando la **primera rama** de la función. Sustituimos $t = 1.8$ en $f(t) = \frac{3}{4}t^2 + 2$: $$f(1.8) = \frac{3}{4}(1.8)^2 + 2$$ $$f(1.8) = 0.75 \cdot (3.24) + 2$$ $$f(1.8) = 2.43 + 2 = 4.43.$$ Nuevamente, convertimos este valor de miles de litros a litros: $$4.43 \times 1000 = 4430 \text{ litros}.$$ ✅ **Resultado final del apartado:** $$\boxed{\text{Inicialmente: } 2000 \text{ L; A los 108 min: } 4430 \text{ L}}$$ Podemos observar gráficamente cómo evoluciona el llenado en este primer tramo: