Estudio de la continuidad de una función de carburantes

**2.2 [1.5 puntos] Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua.** Para estudiar si la función $f(t)$ es continua, debemos analizar su comportamiento tanto en el interior de los intervalos definidos por las ramas como en el punto donde se produce el cambio de definición, que en este caso es $t=2$. La función está definida para $t \ge 0$: 1. En el intervalo $0 \le t \lt 2$, la función es $f(t) = \frac{3}{4}t^2 + 2$. Al ser una función polinómica, es continua en todo este tramo. 2. En el intervalo $t \gt 2$, la función es $f(t) = \frac{15}{t+1}$. Esta es una función racional cuyo único punto problemático sería $t = -1$ (donde el denominador se anula). Como $t = -1$ no pertenece al intervalo $(2, +\infty)$, la función es continua en este tramo. El punto crítico que debemos estudiar mediante límites es $t=2$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada rama y si, además, las ramas "conectan" en los puntos de separación. Para comprobar esto último, usamos el concepto de límite.

Para que la función sea continua en $t=2$, deben coincidir el valor de la función en ese punto y los límites laterales. **1. Valor de la función en el punto:** Usamos la primera rama porque incluye el signo igual ($t \le 2$): $$f(2) = \frac{3}{4}(2)^2 + 2 = \frac{3}{4} \cdot 4 + 2 = 3 + 2 = 5.$$ **2. Límite por la izquierda ($t \to 2^-$):** Utilizamos la rama para valores menores que $2$: $$\lim_{t \to 2^-} f(t) = \lim_{t \to 2^-} \left( \frac{3}{4}t^2 + 2 \right) = \frac{3}{4}(2)^2 + 2 = 5.$$ **3. Límite por la derecha ($t \to 2^+$):** Utilizamos la rama para valores mayores que $2$: $$\lim_{t \to 2^+} f(t) = \lim_{t \to 2^+} \frac{15}{t+1} = \frac{15}{2+1} = \frac{15}{3} = 5.$$ 💡 **Tip:** Para que exista el límite global, los límites laterales deben ser finitos e iguales.

Puesto que los límites laterales son iguales: $$\lim_{t \to 2^-} f(t) = \lim_{t o 2^+} f(t) = 5 \implies \lim_{t o 2} f(t) = 5.$$ Además, el valor del límite coincide con el valor de la función en el punto: $$\lim_{t \to 2} f(t) = f(2) = 5.$$ Por lo tanto, la función no presenta ningún salto en $t=2$ y es continua en todo su dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(t) \text{ es continua en todo el intervalo } [0, +\infty)}$$