Estudio de la monotonía en una función a trozos

**2.3 [1.5 puntos] Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $(2, \infty)$.** Para estudiar el crecimiento (monotonía) en el intervalo $(2, \infty)$, primero debemos identificar qué parte de la función definida a trozos corresponde a dicho intervalo. Según el enunciado, para valores de $t \gt 2$, la función viene dada por la expresión: $$f(t) = \frac{15}{t+1}$$ 💡 **Tip:** El crecimiento y decrecimiento de una función se estudia a través del signo de su primera derivada $f'(t)$. Si $f'(t) \gt 0$, la función crece; si $f'(t) \lt 0$, la función decrece.

Calculamos la derivada de $f(t)$ para el tramo $t \gt 2$ utilizando la regla de la derivada de un cociente o viéndola como una potencia de exponente negativo. Si $f(t) = 15 \cdot (t+1)^{-1}$, entonces: $$f'(t) = 15 \cdot (-1) \cdot (t+1)^{-2} \cdot (1) = -\frac{15}{(t+1)^2}$$ Alternativamente, usando la regla del cociente: $$f'(t) = \frac{0 \cdot (t+1) - 15 \cdot 1}{(t+1)^2} = \frac{-15}{(t+1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante entre una función es $\left(\frac{k}{u}\right)' = \frac{-k \cdot u'}{u^2}$.

Para determinar la monotonía, estudiamos el signo de $f'(t) = \frac{-15}{(t+1)^2}$ en el intervalo $(2, \infty)$: 1. El numerador es $-15$, que es **siempre negativo**. 2. El denominador es $(t+1)^2$. Cualquier expresión al cuadrado es **siempre positiva** para cualquier valor de su dominio (en este caso, $t \neq -1$). Dado que un número negativo dividido por uno positivo es siempre negativo, tenemos que: $$f'(t) \lt 0 \quad \text{para todo } t \in (2, \infty)$$ Podemos representarlo mediante la siguiente tabla: $$\begin{array}{c|c} t & (2, +\infty) \\ \hline f'(t) & - \\ \hline f(t) & \searrow \end{array}$$ Como la derivada es estrictamente negativa en todo el intervalo, la función es estrictamente decreciente.

Puesto que $f'(t) \lt 0$ para cualquier instante de tiempo $t$ mayor que $2$, la cantidad de gasolina en el depósito disminuye de forma continua a partir de las 2 horas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es estrictamente decreciente en el intervalo } (2, \infty)}$$