Movilidad al campus y problemas de circulación

Para resolver este problema de probabilidad, primero debemos definir claramente los sucesos que intervienen y organizar la información en un diagrama de árbol. Definimos los siguientes sucesos: - $A$: El usuario circula por **aceras o carriles bici**. - $C$: El usuario circula por la **calzada**. - $P$: El usuario tiene **problemas de circulación**. - $\bar{P}$: El usuario **no tiene problemas de circulación**. A partir del enunciado, extraemos los datos: - $P(A) = 20\% = 0,2$ - $P(C) = 1 - P(A) = 80\% = 0,8$ (ya que el resto circula por la calzada). - $P(P|A) = 10\% = 0,1$ (probabilidad de tener problemas sabiendo que va por acera/bici). - $P(P|C) = 30\% = 0,3$ (probabilidad de tener problemas sabiendo que va por la calzada). 💡 **Tip:** En probabilidad, es fundamental que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo sea siempre 1. Por ejemplo, $P(A) + P(C) = 0,2 + 0,8 = 1$.

**a) [1 punto] Si se elige un usuario al azar que va al campus, calcular la probabilidad de que sufra problemas de circulación.** Para calcular la probabilidad de que un usuario cualquiera tenga problemas, $P(P)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que debemos sumar las probabilidades de todas las ramas que terminan en el suceso "Problemas" ($P$). La fórmula aplicada a nuestro caso es: $$P(P) = P(A) \cdot P(P|A) + P(C) \cdot P(P|C)$$ Sustituimos los valores que hemos identificado anteriormente: $$P(P) = (0,2 \cdot 0,1) + (0,8 \cdot 0,3)$$ Realizamos las operaciones intermedias: - Probabilidad de ir por acera y tener problemas: $0,2 \cdot 0,1 = 0,02$ - Probabilidad de ir por calzada y tener problemas: $0,8 \cdot 0,3 = 0,24$ Sumamos ambos resultados: $$P(P) = 0,02 + 0,24 = 0,26$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos o condiciones previas excluyentes entre sí. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = 0,26}$$ Esto significa que hay un **26 %** de probabilidad de que un usuario elegido al azar sufra problemas de circulación.

**b) [1 punto] Sabiendo que, al ir al campus, un usuario ha tenido problemas de circulación, ¿con qué probabilidad ha circulado por la calzada?** En este apartado nos piden una **probabilidad a posteriori**. Sabemos que ha ocurrido el suceso $P$ (ha tenido problemas) y queremos saber la probabilidad de que proceda de la rama $C$ (ha circulado por la calzada). Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(C|P) = \frac{P(C \cap P)}{P(P)} = \frac{P(C) \cdot P(P|C)}{P(P)}$$ Ya conocemos todos los datos necesarios: - $P(C \cap P) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24$ - $P(P) = 0,26$ (calculado en el apartado anterior) Sustituimos en la fórmula: $$P(C|P) = \frac{0,24}{0,26}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0,02$: $$P(C|P) = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$$ Calculando el valor decimal aproximado: $$P(C|P) \approx 0,9231$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' dado un 'efecto' ya ocurrido. Es muy común que el denominador sea el resultado obtenido en el apartado anterior mediante la Probabilidad Total. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|P) = \frac{12}{13} \approx 0,9231}$$ Existe una probabilidad del **92,31 %** de que el usuario haya circulado por la calzada si sabemos que tuvo problemas.