Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) [1 punto] Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de retraso que experimentan los ciudadanos al circular por aceras o carriles bici hacia el campus universitario en la población.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 4.2$ minutos - Desviación típica poblacional (asumida): $\sigma = 1.5$ minutos - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $95\%$: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$ y $\alpha/2 = 0.025$. 2. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. 3. En las tablas de la distribución normal $N(0,1)$, este valor corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media viene dado por la fórmula $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{1.5}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{1.5}{10} = 1.96 \cdot 0.15 = 0.294$$ Ahora construimos el intervalo de confianza $( \bar{x} - E, \bar{x} + E )$: - Límite inferior: $4.2 - 0.294 = 3.906$ - Límite superior: $4.2 + 0.294 = 4.494$ Con un nivel de confianza del $95\%$, el tiempo medio de retraso en la población se encuentra en el intervalo: $$\boxed{IC = (3.906, 4.494)}$$

**b) [1 punto] Calcular qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de ciudadanos para que, con un nivel de confianza del 99 %, el error máximo admisible sea de 0.12 minutos en la estimación de la media.** Para este nuevo apartado, los datos cambian: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \alpha/2 = 0.005$ - Error máximo admisible: $E = 0.12$ - Desviación típica: $\sigma = 1.5$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Buscamos el valor tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. 2. En las tablas de la normal, el valor exacto está entre $2.57$ y $2.58$. Usualmente se toma: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** Cuanto mayor es el nivel de confianza, mayor es el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, mayor será el tamaño de muestra necesario para mantener un error pequeño.

Utilizamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2.575 \cdot 1.5}{0.12} \right)^2 = \left( \frac{3.8625}{0.12} \right)^2 = (32.1875)^2 \approx 1036.035$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos que el error sea **como máximo** $0.12$, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error no supere dicho valor. $$\boxed{n = 1037}$$