Distribución Binomial: Uso del transporte público

Para resolver este ejercicio, primero debemos identificar el modelo de probabilidad que sigue la situación planteada. Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de ciudadanos de la muestra de 10 que utilizan el transporte público". Analizamos las condiciones: 1. El número de ciudadanos consultados es fijo: $n = 10$. 2. Cada ciudadano tiene solo dos opciones: usa el transporte público (éxito) o no lo usa (fracaso). 3. La probabilidad de éxito es constante para cada ciudadano: $p = 0.45$ (el 45 %). 4. La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 1 - 0.45 = 0.55$. 5. Suponemos que las respuestas de los ciudadanos son independientes entre sí. Por tanto, $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(10, \, 0.45)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula de la probabilidad para una distribución binomial $B(n, p)$ es: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

**a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que exactamente 8 de ellos usen transporte público.** Debemos calcular $P(X = 8)$. Aplicamos la fórmula de la binomial con $n = 10$, $k = 8$, $p = 0.45$ y $q = 0.55$: $$P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot (0.45)^8 \cdot (0.55)^{10-8}$$ Primero calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{8} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$$ Ahora calculamos las potencias y el resultado final: $$P(X = 8) = 45 \cdot (0.45)^8 \cdot (0.55)^2$$ $$P(X = 8) = 45 \cdot 0.00168151 \cdot 0.3025$$ $$P(X = 8) \approx 0.02289$$ La probabilidad de que exactamente 8 ciudadanos usen el transporte público es de, aproximadamente, un **2.29 %**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 8) \approx 0.0229}$$

**b) [1 punto] Calcular la probabilidad de que más de 8 ciudadanos usen transporte público.** La expresión "más de 8" significa que buscamos los valores de la variable $X$ mayores estrictos que 8. Dado que el máximo es $n = 10$, esto corresponde a: $$P(X \gt 8) = P(X = 9) + P(X = 10)$$ Calculamos cada una por separado: 1. Para $k = 9$: $$P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot (0.45)^9 \cdot (0.55)^1 = 10 \cdot (0.45)^9 \cdot 0.55$$ $$P(X = 9) = 10 \cdot 0.00075668 \cdot 0.55 \approx 0.00416$$ 2. Para $k = 10$: $$P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot (0.45)^{10} \cdot (0.55)^0 = 1 \cdot (0.45)^{10} \cdot 1$$ $$P(X = 10) \approx 0.00034$$ Finalmente, sumamos ambos resultados: $$P(X \gt 8) = 0.00416 + 0.00034 = 0.00450$$ 💡 **Tip:** No olvides que el término $\binom{n}{n}$ siempre vale 1 y cualquier número elevado a 0 también es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 8) \approx 0.0045}$$