Discusión de un sistema con parámetros

**1.1 [1.5 puntos] Si $b = -1$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$.** En primer lugar, sustituimos el valor $b = -1$ en el sistema original para obtener un sistema que dependa únicamente del parámetro $a$: $$\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + y - z = 5 \end{cases}$$ A partir de aquí, definimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** Para clasificar el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [a \cdot (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [3 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot a + (-1) \cdot 1 \cdot 2]$$ $$|A| = [a + 12 + 1] - [-3 + 2a - 2]$$ $$|A| = (a + 13) - (2a - 5) = a + 13 - 2a + 5 = -a + 18$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo cambia el rango de $A$: $$-a + 18 = 0 \implies a = 18$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es automáticamente 3.

Si $a \neq 18$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que: - $\text{rg}(A) = 3$ - Como la matriz ampliada $A^*$ tiene tamaño $3 \times 4$, su rango máximo es 3. Al contener a $A$, tenemos que $\text{rg}(A^*) = 3$. - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n = 3$, el sistema es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 18, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 18$, el determinante de la matriz de coeficientes es $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ Esto confirma que $\text{rg}(A) = 2$. Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ para $a=18$, orlando el menor anterior con la columna de términos independientes: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 18 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{array}\right)$$ Tomamos el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = [2 \cdot 2 \cdot 5 + 1 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [1 \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$= [20 + 4 + 1] - [2 - 8 - 5] = 25 - (-11) = 36 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, entonces $\text{rg}(A^*) = 3$. Comparando rangos: $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 18, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$