Discusión de un sistema de ecuaciones con parámetros

**1.2 [1.5 puntos] Si $a = 3$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $b$.** En primer lugar, sustituimos el valor $a = 3$ en el sistema dado y escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & b & 2 \\ 3 & 1 & b \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & b & 2 & 4 \\ 3 & 1 & b & 5 \end{array}\right)$$ Para clasificar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada. 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor determinante no nulo que podemos encontrar en ella.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & b & 2 \\ 3 & 1 & b \end{vmatrix} = (3 \cdot b \cdot b) + (2 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(3 \cdot b \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot b) + (2 \cdot 1 \cdot 3)]$$ Operamos paso a paso: $$|A| = (3b^2) + (12) + (1) - [3b + 2b + 6]$$ $$|A| = 3b^2 + 13 - (5b + 6)$$ $$|A| = 3b^2 - 5b + 7$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al restar la diagonal secundaria. Es recomendable poner siempre un paréntesis después del signo menos.

Para saber cuándo el rango de $A$ es menor que 3, buscamos los valores de $b$ que hacen que el determinante sea cero: $$3b^2 - 5b + 7 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$b = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 84}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{-59}}{6}$$ Como el discriminante es negativo ($-59 \lt 0$), la ecuación **no tiene soluciones reales**. Esto significa que el determinante $|A|$ **nunca es cero**, independientemente del valor que tome $b$ ($|A| \neq 0$ para todo $b \in \mathbb{R}$).

Dado que el determinante de $A$ es siempre distinto de cero para cualquier valor de $b$: 1. El **rango de $A$ es 3** ($rg(A) = 3$) porque hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de cero. 2. El **rango de $A^*$ también es 3** ($rg(A^*) = 3$), ya que la matriz ampliada contiene a la matriz $A$ y no puede tener un rango mayor que el número de filas (que es 3). 3. El **número de incógnitas es 3** ($x, y, z$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $rg(A) = rg(A^*) = 3$ (igual al número de incógnitas), el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $b$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para cualquier } b \in \mathbb{R}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$ 💡 **Tip:** Un sistema compatible determinado es aquel que tiene una única solución.