Resolución de un sistema con parámetros

**1.3 [1.5 puntos] Resolver el sistema para $a = 1$ y $b = -2$.** En primer lugar, sustituimos los valores de los parámetros $a = 1$ y $b = -2$ en el sistema original: $$\begin{cases} 1x + 2y + z = 1 \\ x - 2y + 2z = 4 \\ 3x + y - 2z = 5 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos el **Método de Cramer**, ya que es muy directo una vez que comprobamos que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible determinado (tiene solución única) si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es diferente de cero ($|A| \neq 0$).

Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ aplicando la **regla de Sarrus**: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-2) \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [3 \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot 2]$$ $$|A| = [4 + 12 + 1] - [-6 + 2 - 4]$$ $$|A| = 17 - [-8] = 17 + 8 = 25$$ Como $|A| = 25 \neq 0$, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)** y podemos aplicar la regla de Cramer. 💡 **Tip:** La regla de Sarrus consiste en sumar los productos de las diagonales principales y restar los productos de las diagonales secundarias.

Para hallar $x$, sustituimos la primera columna de $|A|$ por la columna de los términos independientes $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \\ 5 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A_x| = [1 \cdot (-2) \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \cdot 5 + 1 \cdot 4 \cdot 1] - [5 \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 \cdot 2]$$ $$|A_x| = [4 + 20 + 4] - [-10 + 2 - 16]$$ $$|A_x| = 28 - [-24] = 28 + 24 = 52$$ Calculamos $x$: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{52}{25}$$ ✅ **Valor de x:** $$\boxed{x = \dfrac{52}{25}}$$

Sustituimos la segunda columna de $|A|$ por la de términos independientes: $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A_y| = [1 \cdot 4 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 5] - [3 \cdot 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A_y| = [-8 + 6 + 5] - [12 + 10 - 2]$$ $$|A_y| = 3 - 20 = -17$$ Calculamos $y$: $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-17}{25}$$ ✅ **Valor de y:** $$\boxed{y = -\dfrac{17}{25}}$$

Sustituimos la tercera columna de $|A|$ por la de términos independientes: $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$$ $$|A_z| = [1 \cdot (-2) \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [3 \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot 2]$$ $$|A_z| = [-10 + 24 + 1] - [-6 + 4 + 10]$$ $$|A_z| = 15 - 8 = 7$$ Calculamos $z$: $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{7}{25}$$ ✅ **Valor de z:** $$\boxed{z = \dfrac{7}{25}}$$ **Solución final del sistema:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \dfrac{52}{25}, -\dfrac{17}{25}, \dfrac{7}{25} \right)}$$