Optimización de material contaminante

**2.1 [1.5 puntos] ¿A qué hora del día arroja la máxima cantidad de material contaminante? ¿Y a qué hora la mínima? Determinar la cantidad arrojada en ambos momentos.** En primer lugar, identificamos que el tiempo $t$ representa las horas del día, por lo que el dominio de la función es el intervalo cerrado $[0, 24]$. Para encontrar los máximos y mínimos, necesitamos calcular la derivada de la función $m(t)$: $$m(t) = \frac{1}{200} t^3 - \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2}$$ Derivamos término a término: $$m'(t) = \frac{3}{200} t^2 - \frac{2}{10} t + \frac{1}{2} = \frac{3}{200} t^2 - \frac{1}{5} t + \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia usamos $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Aquí tratamos los coeficientes fraccionarios como constantes multiplicativas. $$\boxed{m'(t) = \frac{3}{200} t^2 - \frac{1}{5} t + \frac{1}{2}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $t$ donde la función puede tener un máximo o un mínimo relativo: $$\frac{3}{200} t^2 - \frac{1}{5} t + \frac{1}{2} = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por $200$: $$3t^2 - 40t + 100 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100}}{2 \cdot 3}$$ $$t = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{6} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{6} = \frac{40 \pm 20}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $t_1 = \frac{40 + 20}{6} = \frac{60}{6} = 10$ 2. $t_2 = \frac{40 - 20}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ (que equivale a 3 horas y 20 minutos)}$ Ambos valores pertenecen al intervalo $[0, 24]$. $$\boxed{t = 10, \quad t = \frac{10}{3}}$$

Analizamos el signo de $m'(t)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos para clasificar los extremos relativos: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 10/3) & 10/3 & (10/3, 10) & 10 & (10, 24) \\ \hline m'(t) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline m(t) & \nearrow & \text{Máximo rel.} & \searrow & \text{Mínimo rel.} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 10/3)$, tomamos $t=1$: $m'(1) = \frac{3}{200} - \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \gt 0$ (**creciente**). - En $(10/3, 10)$, tomamos $t=5$: $m'(5) = \frac{75}{200} - 1 + 0.5 = 0.375 - 0.5 \lt 0$ (**decreciente**). - En $(10, 24)$, tomamos $t=11$: $m'(11) \gt 0$ (**creciente**). 💡 **Tip:** Para determinar si un punto es máximo o mínimo absoluto en un intervalo cerrado, debemos comparar los valores de la función en los extremos del intervalo y en los puntos críticos.

Calculamos la cantidad de material $m(t)$ en los puntos críticos y en los extremos del día ($t=0$ y $t=24$): 1. **A las 00:00 h ($t=0$):** $m(0) = \frac{1}{200}(0)^3 - \frac{1}{10}(0)^2 + \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2} = \mathbf{0.5 \text{ kg}}$ 2. **A las 03:20 h ($t=10/3$):** $m(10/3) = \frac{1}{200}(\frac{1000}{27}) - \frac{1}{10}(\frac{100}{9}) + \frac{1}{2}(\frac{10}{3}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{27} - \frac{10}{9} + \frac{5}{3} + \frac{1}{2} = \frac{10 - 60 + 90 + 27}{54} = \frac{67}{54} \approx \mathbf{1.24 \text{ kg}}$ 3. **A las 10:00 h ($t=10$):** $m(10) = \frac{1000}{200} - \frac{100}{10} + \frac{10}{2} + 0.5 = 5 - 10 + 5 + 0.5 = \mathbf{0.5 \text{ kg}}$ 4. **A las 24:00 h ($t=24$):** $m(24) = \frac{24^3}{200} - \frac{24^2}{10} + \frac{24}{2} + 0.5 = 69.12 - 57.6 + 12 + 0.5 = \mathbf{24.02 \text{ kg}}$ Comparando los valores: - El valor máximo absoluto es **24.02 kg** a las **24:00 h**. - El valor mínimo absoluto es **0.5 kg**, que ocurre tanto a las **00:00 h** como a las **10:00 h**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: 24.02 kg a las 24:00 h. Mínimo: 0.5 kg a las 00:00 h y a las 10:00 h.}}$$