Análisis de vertidos contaminantes

**2.2 [1.5 puntos] ¿Cuánto material contaminante arroja en un día? Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía), primero debemos hallar la derivada de la función $m(t)$. La función representa el ritmo de vertido en kilogramos por hora en un intervalo de un día completo, es decir, $t \in [0, 24]$. Calculamos la derivada $m'(t)$ aplicando las reglas de derivación de potencias: $$m(t) = \frac{1}{200} t^3 - \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2}$$ $$m'(t) = \frac{3}{200} t^2 - \frac{2}{10} t + \frac{1}{2}$$ $$m'(t) = 0,015 t^2 - 0,2 t + 0,5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $t^n$ es $n \cdot t^{n-1}$. Aquí hemos derivado cada término por separado.

Para encontrar los puntos donde la función cambia de tendencia, igualamos la derivada a cero: $$0,015 t^2 - 0,2 t + 0,5 = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $200$ para facilitar los cálculos con números enteros: $$3 t^2 - 40 t + 100 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100}}{2 \cdot 3}$$ $$t = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{6} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{6} = \frac{40 \pm 20}{6}$$ Obtenemos dos valores de $t$: 1. $t_1 = \frac{40 + 20}{6} = \frac{60}{6} = 10$ 2. $t_2 = \frac{40 - 20}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3,33$ Ambos valores pertenecen al dominio del problema $[0, 24]$.

Analizamos el signo de $m'(t)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro de $[0, 24]$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 10/3) & 10/3 & (10/3, 10) & 10 & (10, 24)\\\hline m'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Función} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 10/3)$, probamos con $t=1$: $m'(1) = 0,015 - 0,2 + 0,5 = 0,315 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(10/3, 10)$, probamos con $t=5$: $m'(5) = 0,015(25) - 0,2(5) + 0,5 = 0,375 - 1 + 0,5 = -0,125 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(10, 24)$, probamos con $t=11$: $m'(11) = 0,015(121) - 0,2(11) + 0,5 = 1,815 - 2,2 + 0,5 = 0,115 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, 10/3) \cup (10, 24] \text{ y decreciente en } (10/3, 10)}$$

Para calcular el material contaminante total arrojado en un día (desde $t=0$ hasta $t=24$), debemos calcular la integral definida de la función $m(t)$: $$M_{total} = \int_{0}^{24} \left( \frac{1}{200} t^3 - \frac{1}{10} t^2 + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \right) dt$$ Primero hallamos la primitiva $M(t)$: $$M(t) = \frac{1}{200} \cdot \frac{t^4}{4} - \frac{1}{10} \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} t$$ $$M(t) = \frac{t^4}{800} - \frac{t^3}{30} + \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $0$ y $24$: $$M_{total} = \left[ \frac{t^4}{800} - \frac{t^3}{30} + \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} \right]_{0}^{24}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow dice que $\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)$, donde $F$ es la primitiva.

Sustituimos $t=24$ y $t=0$: $$M(24) = \frac{24^4}{800} - \frac{24^3}{30} + \frac{24^2}{4} + \frac{24}{2}$$ $$M(24) = \frac{331776}{800} - \frac{13824}{30} + \frac{576}{4} + 12$$ $$M(24) = 414,72 - 460,8 + 144 + 12 = 109,92$$ Como $M(0) = 0$: $$M_{total} = 109,92 - 0 = 109,92 \text{ kg}$$ ✅ **Resultado (Material total):** $$\boxed{109,92 \text{ kg de material contaminante}}$$