Probabilidad Condicionada y Teorema de Bayes

**a) [1 punto] Definir correctamente los sucesos y escribir la información anterior en términos de probabilidad.** En primer lugar, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $D$: La persona ha practicado deporte en el último año. - $\bar{D}$: La persona no ha practicado deporte en el último año. - $E$: La persona ha presenciado al menos un evento deportivo al año. - $\bar{E}$: La persona no ha presenciado ningún evento deportivo al año. Extraemos los datos numéricos y los expresamos como probabilidades: - Seis de cada diez practicaron deporte: $P(D) = \frac{6}{10} = 0,6$. - Por complemento, los que no practicaron deporte: $P(\bar{D}) = 1 - 0,6 = 0,4$. - Entre los deportistas, el $85\%$ presenció eventos: $P(E|D) = 0,85$. - Entre los no deportistas, el $70\%$ presenció eventos: $P(E|\bar{D}) = 0,70$. Calculamos las probabilidades complementarias de presenciar eventos: - $P(\bar{E}|D) = 1 - 0,85 = 0,15$. - $P(\bar{E}|\bar{D}) = 1 - 0,70 = 0,30$. 💡 **Tip:** En probabilidad, recuerda que $P(A) + P(\bar{A}) = 1$. Es fundamental identificar si los porcentajes dados son probabilidades simples o condicionadas (usualmente indicadas por expresiones como "entre los que..." o "si se sabe que..."). Representamos la situación mediante un **diagrama de árbol** para visualizar las intersecciones: ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D)=0,6;\ P(\bar{D})=0,4;\ P(E|D)=0,85;\ P(E|\bar{D})=0,70}$$

**b) [1 punto] Se selecciona una persona al azar y resulta que no ha presenciado ningún evento deportivo. Determinar si es más probable que haya practicado deporte o que no lo haya hecho.** Para resolver este apartado, primero debemos calcular la probabilidad total de que una persona no haya presenciado eventos deportivos, $P(\bar{E})$. Usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{E}) = P(D) \cdot P(\bar{E}|D) + P(\bar{D}) \cdot P(\bar{E}|\bar{D})$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(\bar{E}) = 0,6 \cdot 0,15 + 0,4 \cdot 0,30$$ $$P(\bar{E}) = 0,09 + 0,12 = 0,21$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos del árbol que llevan a él. $$\boxed{P(\bar{E}) = 0,21}$$

Ahora que sabemos que la persona no ha presenciado ningún evento (suceso $\bar{E}$), calculamos las probabilidades a posteriori de que practicara deporte o no mediante el **Teorema de Bayes**. 1. Probabilidad de que haya practicado deporte habiendo visto que no presenció eventos: $$P(D|\bar{E}) = \frac{P(D \cap \bar{E})}{P(\bar{E})} = \frac{P(D) \cdot P(\bar{E}|D)}{P(\bar{E})} = \frac{0,09}{0,21} \approx 0,4286$$ 2. Probabilidad de que no haya practicado deporte habiendo visto que no presenció eventos: $$P(\bar{D}|\bar{E}) = \frac{P(\bar{D} \cap \bar{E})}{P(\bar{E})} = \frac{P(\bar{D}) \cdot P(\bar{E}|\bar{D})}{P(\bar{E})} = \frac{0,12}{0,21} \approx 0,5714$$ **Comparación:** Comparando ambos resultados: $0,5714 \gt 0,4286$. Por tanto, es más probable que la persona **no haya practicado deporte**. 💡 **Tip:** No es estrictamente necesario calcular el valor decimal final para comparar, ya que al tener el mismo denominador ($0,21$), basta con comparar los numeradores ($0,12 \gt 0,09$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Es más probable que no haya practicado deporte } (P(\bar{D}|\bar{E}) \approx 0,5714)}$$