Distribución Binomial: Hábitos deportivos

**a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas hayan presenciado un evento deportivo.** En primer lugar, debemos identificar que estamos ante una **distribución binomial**. El enunciado nos indica que seleccionamos a 8 personas de un grupo específico: las que **no practicaron deporte**. Para este subgrupo, la probabilidad de que una persona haya presenciado un evento deportivo es $p = 0.25$ (según el enunciado: "De las que no practicaron deporte, el 25 % presenció algún evento deportivo"). Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de personas que presenciaron un evento deportivo de un total de 8 personas que no practicaron deporte". Los parámetros de nuestra distribución son: - $n = 8$ (número de personas seleccionadas). - $p = 0.25$ (probabilidad de éxito: presenciar el evento). - $q = 1 - p = 0.75$ (probabilidad de fracaso: no presenciarlo). Por tanto, $X \sim B(8, \, 0.25)$. 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando tenemos $n$ experimentos independientes con dos posibles resultados: éxito (probabilidad $p$) o fracaso ($q=1-p$).

Nos piden la probabilidad de que "exactamente la mitad" de las 8 personas hayan presenciado el evento, es decir, calculamos $P(X = 4)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituimos nuestros valores: $$P(X = 4) = \binom{8}{4} \cdot (0.25)^4 \cdot (0.75)^{8-4}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \cdot (8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$$ Ahora calculamos las potencias y el resultado final: $$P(X = 4) = 70 \cdot (0.25)^4 \cdot (0.75)^4$$ $$P(X = 4) = 70 \cdot 0.00390625 \cdot 0.31640625 \approx 0.0865$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=4) = 0.0865}$$ *(Opcionalmente expresado en porcentaje: $8.65 \%$)*

**b) [1 punto] Calcular la probabilidad de que alguna de ellas haya presenciado un evento deportivo.** La expresión "alguna" significa "al menos una", es decir, $P(X \ge 1)$. Calcular esto directamente implicaría sumar $P(X=1) + P(X=2) + \dots + P(X=8)$. Es mucho más sencillo utilizar el **suceso contrario**: El contrario de "al menos una" es "ninguna" ($X=0$). $$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$ Calculamos $P(X = 0)$: $$P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot (0.25)^0 \cdot (0.75)^8$$ Como $\binom{8}{0} = 1$ y $(0.25)^0 = 1$: $$P(X = 0) = (0.75)^8 \approx 0.1001$$ Finalmente: $$P(X \ge 1) = 1 - 0.1001 = 0.8999$$ 💡 **Tip:** En probabilidad, la palabra "alguno" o "al menos uno" suele ser la señal para usar el suceso complementario $1 - P(0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 1) = 0.8999}$$ *(Opcionalmente expresado en porcentaje: $89.99 \%$)*