Probabilidad y Estadística 2025 Castilla y Leon
Distribución Normal e Intervalos de Confianza
3. Se ha publicado una encuesta sobre hábitos deportivos según la cual seis de cada diez personas practicaron deporte en el último año. 3.3. El tiempo (en horas) en el que las personas que practicaron deporte presenciaron eventos deportivos sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 10 horas.
a) [1 punto] Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 25, calcular el porcentaje de personas que presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año.
b) [1 punto] Se elige al azar una muestra de 49 personas y se obtiene una media muestral de 26 horas. Determinar, al nivel de confianza del 98 %, un intervalo de confianza para el número medio de horas que presenciaron eventos deportivos en dicha población.
Paso 1
Identificación de la variable y tipificación
**a) [1 punto] Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 25, calcular el porcentaje de personas que presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año.**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el tiempo (en horas) que las personas presenciaron eventos deportivos. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu, \sigma) = N(25, 10)$$
Queremos hallar la probabilidad de que una persona haya presenciado eventos más de 30 horas, es decir, $P(X \gt 30)$. Para ello, debemos **tipificar** la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$.
💡 **Tip:** La fórmula para tipificar es $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, donde $\mu$ es la media y $\sigma$ la desviación típica.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad y porcentaje
Aplicamos la tipificación:
$$P(X \gt 30) = P\left(Z \gt \frac{30 - 25}{10}\right) = P\left(Z \gt \frac{5}{10}\right) = P(Z \gt 0.5)$$
Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada hacia la izquierda, $P(Z \le k)$, usamos la propiedad del suceso contrario:
$$P(Z \gt 0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$$
Buscamos en la tabla de la $N(0, 1)$ el valor correspondiente a $0.5$:
$$P(Z \le 0.5) = 0.6915$$
Sustituimos para obtener la probabilidad final:
$$P(X \gt 30) = 1 - 0.6915 = 0.3085$$
Para obtener el porcentaje, multiplicamos el resultado por 100:
$$0.3085 \cdot 100 = 30.85\%$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{30.85\%}$$
Paso 3
Identificación de parámetros para el intervalo de confianza
**b) [1 punto] Se elige al azar una muestra de 49 personas y se obtiene una media muestral de 26 horas. Determinar, al nivel de confianza del 98 %, un intervalo de confianza para el número medio de horas que presenciaron eventos deportivos en dicha población.**
Extraemos los datos necesarios para construir el intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$:
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$
- Tamaño de la muestra: $n = 49$
- Media muestral: $\bar{x} = 26$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$
💡 **Tip:** El intervalo de confianza se calcula mediante la fórmula: $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$, donde $E$ es el error máximo admisible.
Paso 4
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $98\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. Si $1 - \alpha = 0.98$, entonces $\alpha = 0.02$.
2. Repartimos el riesgo en las dos colas: $\frac{\alpha}{2} = 0.01$.
3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $1 - 0.01 = 0.99$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99$$
Consultando la tabla de la normal estándar:
- $P(Z \le 2.32) = 0.9898$
- $P(Z \le 2.33) = 0.9901$
Tomamos el valor más próximo (o interpolamos), habitualmente en Bachillerato se usa:
$$\boxed{z_{\alpha/2} \approx 2.33}$$
(También es válido usar $2.326$ para mayor precisión).
Paso 5
Cálculo del error y del intervalo final
Calculamos el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.33 \cdot \frac{10}{\sqrt{49}} = 2.33 \cdot \frac{10}{7}$$
$$E = 2.33 \cdot 1.4286 \approx 3.3286$$
Ahora construimos el intervalo $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (26 - 3.3286, \, 26 + 3.3286)$$
$$I.C. = (22.6714, \, 29.3286)$$
Redondeando a dos decimales:
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I.C. = (22.67, \, 29.33)}$$