Optimización de la producción mediante programación lineal

**a) ¿Cuántos días ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? (3 puntos)** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema, que representan las incógnitas que queremos calcular: - $x$: número de días que funciona la **Planta A**. - $y$: número de días que funciona la **Planta B**. El objetivo es minimizar el coste total de producción. Según el enunciado, el funcionamiento de la planta A cuesta 60 (miles de €) y el de la planta B cuesta 75 (miles de €). Por tanto, la función objetivo $C(x, y)$ es: $$C(x, y) = 60x + 75y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre identifica primero qué representan $x$ e $y$ (normalmente son cantidades o tiempos) y qué función quieres optimizar (maximizar beneficios o minimizar costes).

A continuación, escribimos las restricciones basadas en los requisitos mínimos de producción de cada lote (P1, P2 y P3): 1. **Producto P1:** La planta A fabrica 1 lote y la B fabrica 1. Se necesitan al menos 6: $$1x + 1y \ge 6 \implies x + y \ge 6$$ 2. **Producto P2:** La planta A fabrica 2 lotes y la B fabrica 1. Se necesitan al menos 8: $$2x + 1y \ge 8 \implies 2x + y \ge 8$$ 3. **Producto P3:** La planta A fabrica 1 lote y la B fabrica 5. Se necesitan al menos 10: $$1x + 5y \ge 10 \implies x + 5y \ge 10$$ 4. **No negatividad:** El número de días no puede ser negativo: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de inecuaciones queda definido como: $$\begin{cases} x + y \ge 6 \\ 2x + y \ge 8 \\ x + 5y \ge 10 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La expresión "al menos" se traduce siempre por el símbolo $\ge$.

Para hallar la región factible, representamos las rectas asociadas a las inecuaciones y determinamos el área que cumple todas las condiciones. - Recta $r_1$ ($x+y=6$): Pasa por $(0,6)$ y $(6,0)$. - Recta $r_2$ ($2x+y=8$): Pasa por $(0,8)$ y $(4,0)$. - Recta $r_3$ ($x+5y=10$): Pasa por $(0,2)$ y $(10,0)$. Como todas las inecuaciones son del tipo $\ge$, la región factible será la zona no acotada situada por encima de todas estas rectas en el primer cuadrante.

Los vértices son los puntos de corte de las rectas que delimitan la región. Los calculamos resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes: - **Vértice A:** Intersección del eje $Y$ ($x=0$) con $r_2$ ($2x+y=8$): Si $x=0 \implies y=8$. El punto es **$A(0, 8)$**. - **Vértice B:** Intersección de $r_1$ ($x+y=6$) y $r_2$ ($2x+y=8$): Restando las ecuaciones: $(2x+y) - (x+y) = 8 - 6 \implies x=2$. Sustituyendo: $2+y=6 \implies y=4$. El punto es **$B(2, 4)$**. - **Vértice C:** Intersección de $r_1$ ($x+y=6$) y $r_3$ ($x+5y=10$): Restando: $(x+5y) - (x+y) = 10 - 6 \implies 4y=4 \implies y=1$. Sustituyendo: $x+1=6 \implies x=5$. El punto es **$C(5, 1)$**. - **Vértice D:** Intersección del eje $X$ ($y=0$) con $r_3$ ($x+5y=10$): Si $y=0 \implies x=10$. El punto es **$D(10, 0)$**. 💡 **Tip:** Asegúrate de que los vértices calculados cumplen el resto de las restricciones para confirmar que pertenecen a la región factible.

Evaluamos la función de coste $C(x, y) = 60x + 75y$ en cada uno de los vértices: - $C(A) = C(0, 8) = 60(0) + 75(8) = 600$ miles de €. - $C(B) = C(2, 4) = 60(2) + 75(4) = 120 + 300 = 420$ miles de €. - $C(C) = C(5, 1) = 60(5) + 75(1) = 300 + 75 = 375$ miles de €. - $C(D) = C(10, 0) = 60(10) + 75(0) = 600$ miles de €. El valor mínimo se alcanza en el punto $C(5, 1)$. **Solución apartado a):** Para que el coste sea mínimo, la planta A debe funcionar **5 días** y la planta B debe funcionar **1 día**. $$\boxed{x = 5, \quad y = 1}$$ **b) ¿Cuál es dicho coste mínimo? (0,5 puntos)** El coste mínimo es el valor calculado para el punto óptimo $(5,1)$: $$C(5, 1) = 375$$ **Solución apartado b):** El coste mínimo de producción es de **375 miles de euros**. $$\boxed{\text{Coste} = 375.000\text{ €}}$$