Sistema de ecuaciones: Recaudación de un espectáculo

**Calcula cuántos espectadores han pagado el importe total de la entrada, que vale 9 euros, cuántos han pagado el 20% de la entrada y cuántos el 50%, sabiendo que el número de espectadores que han pagado el 20% es el doble del número de espectadores que han pagado la entrada completa.** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema según lo que nos preguntan: - $x$: número de espectadores que pagan la entrada completa (9 €). - $y$: número de espectadores menores de 5 años (pagan el 20%). - $z$: número de espectadores entre 5 y 16 años (pagan el 50%). Calculamos los precios reducidos: - Entrada completa: **9 €**. - Entrada al 20%: $0,20 \cdot 9 = \mathbf{1,80 \text{ €}}$. - Entrada al 50%: $0,50 \cdot 9 = \mathbf{4,50 \text{ €}}$. 💡 **Tip:** Identificar claramente las variables y sus unidades es el primer paso fundamental en cualquier problema de álgebra.

A partir del enunciado, establecemos las tres ecuaciones correspondientes: 1. **Total de espectadores:** La suma de los tres tipos de público es 500: $$x + y + z = 500$$ 2. **Recaudación total:** Multiplicamos cada tipo de espectador por su precio e igualamos a 2.115 €: $$9x + 1,8y + 4,5z = 2115$$ 3. **Relación entre espectadores:** El número de los que pagan el 20% ($y$) es el doble de los que pagan el total ($x$): $$y = 2x$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 500 \\ 9x + 1,8y + 4,5z = 2115 \\ y = 2x \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En los problemas de sistemas, fíjate siempre en las tres condiciones: una suele ser sobre el total, otra sobre el valor monetario y otra sobre la relación entre las partes.

Dado que la tercera ecuación ya tiene despejada una variable ($y = 2x$), utilizaremos el método de **sustitución**. Sustituimos $y = 2x$ en las otras dos ecuaciones: 1. En la primera ecuación: $$x + (2x) + z = 500 \implies 3x + z = 500 \implies \mathbf{z = 500 - 3x}$$ 2. En la segunda ecuación: $$9x + 1,8(2x) + 4,5z = 2115$$ $$9x + 3,6x + 4,5z = 2115$$ $$12,6x + 4,5z = 2115$$ Ahora, sustituimos $z = 500 - 3x$ en esta última expresión: $$12,6x + 4,5(500 - 3x) = 2115$$ $$12,6x + 2250 - 13,5x = 2115$$ $$-0,9x = 2115 - 2250$$ $$-0,9x = -135$$ Calculamos $x$: $$x = \frac{-135}{-0,9} = 150$$ 💡 **Tip:** Cuando una variable ya está despejada o es fácil de despejar, el método de sustitución suele ser el más rápido para evitar errores con matrices.

Una vez hallado el valor de $x = 150$, calculamos el resto de incógnitas utilizando las relaciones obtenidas anteriormente: - Para **$y$**: $$y = 2x = 2 \cdot 150 = 300$$ - Para **$z$**: $$z = 500 - 3x = 500 - 3(150) = 500 - 450 = 50$$ **Comprobación:** - Espectadores: $150 + 300 + 50 = 500$ (Correcto). - Recaudación: $150 \cdot 9 + 300 \cdot 1,8 + 50 \cdot 4,5 = 1350 + 540 + 225 = 2115$ € (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Entrada completa: } 150 \text{ espectadores} \\ \text{Entrada al 20\%: } 300 \text{ espectadores} \\ \text{Entrada al 50\%: } 50 \text{ espectadores} \end{matrix}}$$