Estudio completo de una función a trozos e integración

**a) Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,9]. (0,75 puntos)** Para estudiar la continuidad, primero analizamos cada tramo por separado en sus intervalos abiertos: 1. **Tramo 1 ($0 \le x < 4$):** $f(x) = \frac{1+x^2}{1+x}$. Es una función racional. El denominador se anula en $x = -1$, que no pertenece al intervalo $[0, 4)$. Por tanto, es **continua** en este tramo. 2. **Tramo 2 ($4 \le x < 8$):** $f(x) = 2x + 4$. Es una función polinómica (recta), por lo que es **continua** en todo $\mathbb{R}$, y en particular en $[4, 8)$. 3. **Tramo 3 ($8 \le x \le 9$):** $f(x) = 3x + 60 - x^2$. Es una función polinómica (parábola), por lo que es **continua** en el intervalo $[8, 9]$. Ahora debemos estudiar qué ocurre en los puntos de salto entre tramos: $x = 4$ y $x = 8$.

Para que la función sea continua en $x = 4$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{1+x^2}{1+x} = \frac{1+4^2}{1+4} = \frac{17}{5} = 3.4$$ - Límite por la derecha y valor en el punto: $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4) = 2(4) + 4 = 12$$ Como $3.4 \neq 12$, existe un salto finito en $x = 4$. La función **no es continua en $x = 4$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $a$, se debe cumplir que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Estudiamos el comportamiento en $x = 8$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 8^-} f(x) = 2(8) + 4 = 20$$ - Límite por la derecha y valor en el punto: $$\lim_{x \to 8^+} f(x) = f(8) = 3(8) + 60 - 8^2 = 24 + 60 - 64 = 20$$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, la función **es continua en $x = 8$**. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{\text{La función es continua en } [0, 9] \setminus \{4\}}$$

**b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [0,9]. (1,5 puntos)** Calculamos la derivada de la función en cada tramo (excepto en los puntos de unión donde no sea derivable): $$f'(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2x - 1}{(1+x)^2} & \text{si } 0 < x < 4 \\ 2 & \text{si } 4 < x < 8 \\ 3 - 2x & \text{si } 8 < x < 9 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: - En $(0, 4)$: $x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$. El único valor dentro del intervalo es **$x = -1 + \sqrt{2} \approx 0.414$**. - En $(4, 8)$: $f'(x) = 2$, nunca es cero (siempre positivo). - En $(8, 9)$: $3 - 2x = 0 \implies x = 1.5$, que no está en el intervalo $(8, 9)$. En este tramo la derivada es siempre negativa (ej: $3 - 2(8.5) = -14$).

Analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por los puntos críticos y los puntos de discontinuidad: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (0, 0.414) & 0.414 & (0.414, 4) & (4, 8) & (8, 9) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & + & - \\ \hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \nearrow & \searrow \end{array}$$ - En $(0, -1+\sqrt{2})$: $f'(0.1) = \frac{0.1^2+0.2-1}{pos} < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(-1+\sqrt{2}, 4)$: $f'(1) = \frac{1+2-1}{4} > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(4, 8)$: $f'(x) = 2 > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(8, 9)$: $f'(8.5) = 3 - 17 = -14 < 0 \implies$ **Decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } (-1+\sqrt{2}, 4) \cup (4, 8) \\ &\text{Decreciente en: } (0, -1+\sqrt{2}) \cup (8, 9) \end{aligned}}$$

**c) Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos. (0,5 puntos)** Evaluamos la función en los puntos candidatos (extremos del intervalo, puntos críticos y saltos): - $f(0) = \frac{1+0}{1+0} = 1$ - $f(-1+\sqrt{2}) = \frac{1 + (-1+\sqrt{2})^2}{1 + (-1+\sqrt{2})} = \frac{1 + 1 + 2 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - 2 \approx 0.828$ (Mínimo relativo). - Límite en el salto: $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 3.4$; $f(4) = 12$. - $f(8) = 20$ (Máximo relativo por cambio de creciente a decreciente). - $f(9) = 3(9) + 60 - 81 = 6$. Comparando valores: - El **mínimo absoluto** se alcanza en $x = -1 + \sqrt{2}$ con un valor de **$2\sqrt{2} - 2$**. - El **máximo absoluto** se alcanza en $x = 8$ con un valor de **$20$**. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo: } (-1+\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2) \approx (0.41, 0.83) ; \text{Máximo: } (8, 20)}$$

**d) Calcular el área de la región delimitada por esta función, el eje $OX$, la recta de ecuación $x = 8$ y la recta de ecuación $x = 9$. (0,75 puntos)** El área solicitada se encuentra en el intervalo $[8, 9]$. En este intervalo, la función es $f(x) = 3x + 60 - x^2$. Como $f(x) > 0$ en todo este intervalo (ya que el mínimo en el extremo $x=9$ es $6$), el área es simplemente la integral definida: $$\text{Área} = \int_{8}^{9} (3x + 60 - x^2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (3x + 60 - x^2) \, dx = \frac{3x^2}{2} + 60x - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\text{Área} = \left[ \frac{3x^2}{2} + 60x - \frac{x^3}{3} \right]_8^9$$ Evaluamos en $x = 9$: $$\frac{3(81)}{2} + 60(9) - \frac{729}{3} = 121.5 + 540 - 243 = 418.5$$ Evaluamos en $x = 8$: $$\frac{3(64)}{2} + 60(8) - \frac{512}{3} = 96 + 480 - 170.67 = 576 - 170.67 = 405.33$$ Restamos: $$\text{Área} = 418.5 - 405.33 = 13.17 \text{ u}^2$$ Operando con fracciones para mayor precisión: $$\left( \frac{243}{2} + 297 \right) - \left( 576 - \frac{512}{3} \right) = \frac{837}{2} - \frac{1216}{3} = \frac{2511 - 2432}{6} = \frac{79}{6}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{79}{6} \approx 13.17 \text{ unidades de área}}$$