Estudio completo de una función racional

**a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)** El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ Usamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos valores: - $x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$ - $x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los reales excepto $-2$ y $4$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los valores que anulan el denominador son candidatos a ser asíntotas verticales. ✅ **Dominio:** $$\boxed{Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}}$$

Para hallar los puntos de corte, analizamos las intersecciones con los ejes $X$ e $Y$: 1. **Corte con el eje $Y$ ($x=0$):** $$f(0) = \frac{4(0)^2 - 36}{(0)^2 - 2(0) - 8} = \frac{-36}{-8} = \frac{9}{2} = 4,5$$ El punto es **$(0, 4,5)$**. 2. **Corte con el eje $X$ ($f(x)=0$):** Una fracción es cero si su numerador es cero: $$4x^2 - 36 = 0 \implies 4x^2 = 36 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$$ Los puntos son **$(-3, 0)$** y **$(3, 0)$**. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(0, 4,5), (-3, 0), (3, 0)}$$

**b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)** Buscamos las asíntotas verticales en los puntos fuera del dominio ($x=-2$ y $x=4$): - **Para $x = -2$:** $$\lim_{x \to -2} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8} = \frac{4(-2)^2 - 36}{0} = \frac{-20}{0} = \infty$$ Existe una asíntota vertical en **$x = -2$**. - **Para $x = 4$:** $$\lim_{x \to 4} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8} = \frac{4(4)^2 - 36}{0} = \frac{28}{0} = \infty$$ Existe una asíntota vertical en **$x = 4$**. 💡 **Tip:** Para representar gráficamente, es útil saber que si el límite tiende a $+\infty$ o $-\infty$ por cada lado, la curva se acerca a la recta sin tocarla. ✅ **Asíntotas Verticales:** $$\boxed{x = -2, \quad x = 4}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8}$$ Como el grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 2), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8} = \frac{4}{1} = 4$$ Existe una asíntota horizontal en **$y = 4$**. 💡 **Tip:** Al existir una asíntota horizontal, sabemos inmediatamente que no existen asíntotas oblicuas. ✅ **Asíntota Horizontal:** $$\boxed{y = 4}$$

**c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)** Calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Si $u = 4x^2 - 36 \implies u' = 8x$ Si $v = x^2 - 2x - 8 \implies v' = 2x - 2$ $$f'(x) = \frac{8x(x^2 - 2x - 8) - (4x^2 - 36)(2x - 2)}{(x^2 - 2x - 8)^2}$$ Operamos en el numerador: $$8x^3 - 16x^2 - 64x - (8x^3 - 8x^2 - 72x + 72)$$ $$8x^3 - 16x^2 - 64x - 8x^3 + 8x^2 + 72x - 72 = -8x^2 + 8x - 72$$ Por tanto: $$f'(x) = \frac{-8x^2 + 8x - 72}{(x^2 - 2x - 8)^2}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{-8(x^2 - x + 9)}{(x^2 - 2x - 8)^2}}$$

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$-8(x^2 - x + 9) = 0 \implies x^2 - x + 9 = 0$$ Calculamos el discriminante: $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(9) = 1 - 36 = -35$. Al ser el discriminante negativo, la ecuación **no tiene soluciones reales**. Esto significa que $f'(x)$ nunca es cero y, por tanto, **no existen máximos ni mínimos locales**. Además, el numerador $-8(x^2 - x + 9)$ siempre es negativo (es una parábola hacia abajo que no corta el eje $X$) y el denominador es un cuadrado (siempre positivo en el dominio). Por tanto, **$f'(x) < 0$ en todo su dominio**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en: } (-\infty, -2) \cup (-2, 4) \cup (4, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{No existen máximos ni mínimos locales}}$$

**d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)** Utilizamos toda la información recopilada: 1. Puntos de corte: $(0, 4,5)$, $(-3, 0)$ y $(3, 0)$. 2. Asíntotas verticales: $x = -2$ y $x = 4$. 3. Asíntota horizontal: $y = 4$. 4. La función es siempre decreciente en sus tres tramos. Visualizamos la gráfica a continuación: