Probabilidad de municipios y graduación universitaria

Primero, definimos los sucesos del problema para organizar la información: - $P$: Vive en un municipio pequeño ($\le 10\,000$ hab.). $P(P) = 0.35$ - $M$: Vive en un municipio mediano ($10\,001 - 50\,000$ hab.). $P(M) = 0.25$ - $G$: Vive en un municipio grande ($> 50\,000$ hab.). $P(G) = 0.40$ - $U$: Se graduó en la universidad. - $\bar{U}$: No se graduó en la universidad. Las probabilidades condicionadas dadas son: - $P(U|P) = 0.20$ - $P(U|M) = 0.30$ - $P(U|G) = 0.60$ Representamos esto en un **diagrama de árbol**:

**a) Calcula la probabilidad de que la persona seleccionada se haya graduado en la universidad. (1 punto)** Para calcular la probabilidad de que una persona se haya graduado, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Sumamos las probabilidades de ser graduado en cada tipo de municipio: $$P(U) = P(P) \cdot P(U|P) + P(M) \cdot P(U|M) + P(G) \cdot P(U|G)$$ Sustituimos los valores: $$P(U) = (0.35 \cdot 0.20) + (0.25 \cdot 0.30) + (0.40 \cdot 0.60)$$ $$P(U) = 0.07 + 0.075 + 0.24 = 0.385$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas principales ($0.35 + 0.25 + 0.40$) debe ser siempre $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U) = 0.385}$$

**b) Si sabemos que la persona seleccionada se graduó en la universidad, ¿cuál es la probabilidad de que viva en un municipio con más de 10 000 habitantes. (1 punto)** Nos piden la probabilidad de que viva en un municipio mediano ($M$) o grande ($G$), sabiendo que es graduado ($U$). Es decir, $P(M \cup G | U)$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(M \cup G | U) = \frac{P((M \cup G) \cap U)}{P(U)}$$ Como $M$ y $G$ son sucesos incompatibles (disjuntos), tenemos: $$P((M \cup G) \cap U) = P(M \cap U) + P(G \cap U)$$ $$P(M \cap U) = 0.25 \cdot 0.30 = 0.075$$ $$P(G \cap U) = 0.40 \cdot 0.60 = 0.24$$ Sumamos las intersecciones: $$P((M \cup G) \cap U) = 0.075 + 0.24 = 0.315$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(M \cup G | U) = \frac{0.315}{0.385} \approx 0.81818...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$\boxed{P(M \cup G | U) \approx 0.8182}$$ 💡 **Tip:** El suceso "más de 10,000 habitantes" es el complementario de "municipio pequeño". También podrías haber calculado $1 - P(P|U)$.

**c) Calcula la probabilidad de la intersección de los sucesos "la persona seleccionada vive en un municipio con 50 000 habitantes o menos" y "la persona seleccionada se graduó en la universidad o vive en un municipio con más de 10 000 habitantes". (1 punto)** Llamemos a los sucesos complejos: - $A = \text{50,000 hab. o menos} = P \cup M$ - $B = \text{graduado o más de 10,000 hab.} = U \cup (M \cup G)$ Queremos calcular $P(A \cap B)$. Analicemos la intersección de los conjuntos: $$A \cap B = (P \cup M) \cap (U \cup M \cup G)$$ Podemos descomponer esta intersección analizando qué elementos de $A$ cumplen la condición de $B$: 1. Si la persona es de $P$ (municipio pequeño): Para estar en $B$, debe estar en $U$ (ya que no está en $M$ ni en $G$). Por tanto, incluimos el suceso $P \cap U$. 2. Si la persona es de $M$ (municipio mediano): Como $M$ forma parte de la unión en el suceso $B$ ($M \cup G$), todas las personas de $M$ están automáticamente en $B$. Por tanto, incluimos todo el suceso $M$. 3. Si la persona es de $G$: No está en $A$, así que no puede estar en la intersección. Entonces: $A \cap B = (P \cap U) \cup M$. Calculamos la probabilidad: $$P(A \cap B) = P(P \cap U) + P(M)$$ $$P(A \cap B) = (0.35 \cdot 0.20) + 0.25$$ $$P(A \cap B) = 0.07 + 0.25 = 0.32$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.32}$$