Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**1.1 [1.5 puntos] Si $b = -1$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$.** Sustituimos $b = -1$ en el sistema original: $$\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + y - z = 5 \\ \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (a \cdot (-1) \cdot (-1)) + (2 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot (-1) \cdot 3) - (2 \cdot 1 \cdot (-1)) - (a \cdot 1 \cdot 2)$$ $$|A| = a + 12 + 1 + 3 + 2 - 2a = 18 - a.$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$18 - a = 0 \implies a = 18.$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es máximo y el sistema es Compatible Determinado.

Estudiamos los casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 18$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, tiene una solución única. **Caso 2: $a = 18$** Si $a = 18$, $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2.$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 5 \end{vmatrix} = (20) + (4) + (1) - (2) - (-8) - (-5) = 20 + 4 + 1 - 2 + 8 + 5 = 36 \neq 0.$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, $\text{rg}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 18: \text{SCD} \\ \text{Si } a = 18: \text{SI} \end{cases}}$$

**1.2 [1.5 puntos] Si $a = 3$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $b$.** Sustituimos $a = 3$ en el sistema: $$\begin{cases} 3x + 2y + z = 1 \\ x + by + 2z = 4 \\ 3x + y + bz = 5 \\ \end{cases}$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & b & 2 \\ 3 & 1 & b \end{vmatrix} = (3 \cdot b \cdot b) + (2 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot b \cdot 3) - (2 \cdot 1 \cdot b) - (3 \cdot 1 \cdot 2)$$ $$|A| = 3b^2 + 12 + 1 - 3b - 2b - 6 = 3b^2 - 5b + 7.$$ Intentamos hallar las raíces de la ecuación $3b^2 - 5b + 7 = 0$ usando la fórmula general: $$b = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 84}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{-59}}{6}.$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta = -59 \lt 0$), no existen valores reales de $b$ que anulen el determinante. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes nunca es cero para valores reales, el rango siempre será máximo.

Puesto que $|A| = 3b^2 - 5b + 7 \neq 0$ para cualquier valor de $b \in \mathbb{R}$, se cumple que: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = \text{nº de incógnitas}.$$ Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es determinado para cualquier valor real de $b$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Para todo } b \in \mathbb{R}, \text{ el sistema es SCD.}}$$

**1.3 [1.5 puntos] Resolver el sistema para $a = 1$ y $b = -2$.** Sustituimos los valores en el sistema: $$\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ x - 2y + 2z = 4 \\ 3x + y - 2z = 5 \\ \end{cases}$$ Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (4) + (12) + (1) - (-6) - (4) - (-2) = 4 + 12 + 1 + 6 - 4 + 2 = 25.$$ Como $|A| = 25 \neq 0$, aplicamos la Regla de Cramer para hallar $x, y, z$. 💡 **Tip:** En la Regla de Cramer, cada incógnita se calcula sustituyendo la columna correspondiente por la de términos independientes en el numerador.

Calculamos cada variable: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \\ 5 & 1 & -2 \end{vmatrix}}{25} = \frac{(4) + (20) + (4) - (-10) - (2) - (-16)}{25} = \frac{4 + 20 + 4 + 10 - 2 + 16}{25} = \frac{52}{25}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \end{vmatrix}}{25} = \frac{(-8) + (6) + (5) - (12) - (10) - (-2)}{25} = \frac{-8 + 6 + 5 - 12 - 10 + 2}{25} = \frac{-17}{25}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix}}{25} = \frac{(-10) + (24) + (1) - (-6) - (4) - (10)}{25} = \frac{-10 + 24 + 1 + 6 - 4 - 10}{25} = \frac{7}{25}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{52}{25}, \quad y = -\frac{17}{25}, \quad z = \frac{7}{25}}$$