Análisis de emisión de material contaminante

**2.1 [1.5 puntos] ¿A qué hora del día arroja la máxima cantidad de material contaminante? ¿Y a qué hora la mínima? Determinar la cantidad arrojada en ambos momentos.** Primero, definimos el dominio de la función. Dado que $t$ representa la hora del día, el intervalo de estudio es $t \in [0, 24]$. Para encontrar los máximos y mínimos, necesitamos calcular la primera derivada de la función $m(t)$: $$m(t) = \frac{1}{200}t^3 - \frac{1}{10}t^2 + \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}$$ Derivamos término a término: $$m'(t) = \frac{3}{200}t^2 - \frac{2}{10}t + \frac{1}{2}$$ $$m'(t) = \frac{3}{200}t^2 - \frac{1}{5}t + \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $t^n$, la derivada es $n \cdot t^{n-1}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $t$ donde la pendiente es nula (posibles máximos o mínimos): $$\frac{3}{200}t^2 - \frac{1}{5}t + \frac{1}{2} = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por $200$: $$3t^2 - 40t + 100 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100}}{2 \cdot 3}$$ $$t = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{6} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{6} = \frac{40 \pm 20}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{40 + 20}{6} = \frac{60}{6} = 10$ - $t_2 = \frac{40 - 20}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3,33$ 💡 **Tip:** $t = \frac{10}{3}$ horas corresponde a las 3 horas y 20 minutos (ya que $1/3$ de hora son 20 minutos).

Para determinar el máximo y mínimo absoluto en un intervalo cerrado $[0, 24]$, evaluamos la función original $m(t)$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo: 1. **En $t = 0$ (inicio del día):** $m(0) = \frac{1}{200}(0)^3 - \frac{1}{10}(0)^2 + \frac{1}{2}(0) + 0,5 = 0,5 \text{ kg}$ 2. **En $t = \frac{10}{3} \approx 3,33$ (máximo relativo):** $m\left(\frac{10}{3}\right) = \frac{1}{200}\left(\frac{1000}{27}\right) - \frac{1}{10}\left(\frac{100}{9}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{10}{3}\right) + 0,5 = \frac{5}{27} - \frac{10}{9} + \frac{5}{3} + 0,5 = \frac{5-30+45}{27} + 0,5 = \frac{20}{27} + 0,5 \approx 1,24 \text{ kg}$ 3. **En $t = 10$ (mínimo relativo):** $m(10) = \frac{1000}{200} - \frac{100}{10} + \frac{10}{2} + 0,5 = 5 - 10 + 5 + 0,5 = 0,5 \text{ kg}$ 4. **En $t = 24$ (final del día):** $m(24) = \frac{13824}{200} - \frac{576}{10} + 12 + 0,5 = 69,12 - 57,6 + 12,5 = 24,02 \text{ kg}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máxima: a las 24:00 h (24,02 kg). Mínima: a las 00:00 h y a las 10:00 h (0,5 kg)}}$$

**2.2 [1.5 puntos] ¿Cuánto material contaminante arroja en un día? Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función.** Analizamos el signo de la derivada $m'(t) = \frac{3}{200}t^2 - \frac{1}{5}t + \frac{1}{2}$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 24]$: $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0, 10/3) & 10/3 & (10/3, 10) & 10 & (10, 24)\\\hline m'(t) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Función} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(0, 10/3)$, tomamos $t=1$: $m'(1) = 0,015 - 0,2 + 0,5 = 0,315 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(10/3, 10)$, tomamos $t=5$: $m'(5) = 0,375 - 1 + 0,5 = -0,125 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(10, 24)$, tomamos $t=11$: $m'(11) = 1,815 - 2,2 + 0,5 = 0,115 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Crecimiento):** $$\boxed{\text{Creciente en } [0, 10/3) \cup (10, 24] \text{ y decreciente en } (10/3, 10)}$$

Para calcular la cantidad total de material arrojado en un día completo (24 horas), suponiendo que $m(t)$ es el ritmo de emisión instantáneo (kg/h), calculamos la integral definida de la función en el intervalo $[0, 24]$: $$\text{Total} = \int_{0}^{24} \left( \frac{1}{200}t^3 - \frac{1}{10}t^2 + \frac{1}{2}t + \frac{1}{2} \right) dt$$ Calculamos la primitiva: $$M(t) = \left[ \frac{1}{200} \cdot \frac{t^4}{4} - \frac{1}{10} \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2}t \right]_{0}^{24}$$ $$M(t) = \left[ \frac{t^4}{800} - \frac{t^3}{30} + \frac{t^2}{4} + \frac{t}{2} \right]_{0}^{24}$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$M(24) = \frac{24^4}{800} - \frac{24^3}{30} + \frac{24^2}{4} + \frac{24}{2}$$ $$M(24) = \frac{331776}{800} - \frac{13824}{30} + \frac{576}{4} + 12 = 414,72 - 460,8 + 144 + 12 = 109,92 \text{ kg}$$ Como $M(0) = 0$, el resultado final es $109,92$ kg. 💡 **Tip:** Si el enunciado interpretara $m(t)$ como la cantidad acumulada, la respuesta sería simplemente $m(24)$, pero en análisis de funciones el total se obtiene mediante la integral. ✅ **Resultado (Total):** $$\boxed{109,92 \text{ kg}}$$