Probabilidad y Estadística 2025 Castilla-La Mancha
Hábitos deportivos: probabilidad y estadística
3. Se ha publicado una encuesta sobre hábitos deportivos según la cual seis de cada diez personas practicaron deporte en el último año, ya sea de forma periódica u ocasional, en su tiempo libre. Por otra parte, entre las personas que practicaban deporte, el 85 % presenció, al menos una vez al año (en vivo o a través de medios audiovisuales) un evento deportivo mientras que, entre las que no practicaban deporte, fue el 70 %.
Responda a dos de los siguientes problemas (3.1, 3.2, 3.3):
3.1. a) [1 punto] Definir correctamente los sucesos y escribir la información anterior en términos de probabilidad.
b) [1 punto] Se selecciona una persona al azar y resulta que no ha presenciado ningún evento deportivo. Determinar si es más probable que haya practicado deporte o que no lo haya hecho.
3.2. Se seleccionan 8 personas al azar entre las que no practicaron deporte.
a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas hayan presenciado un evento deportivo.
b) [1 punto] Calcular la probabilidad de que alguna de ellas haya presenciado un evento deportivo.
3.3. El tiempo (en horas) en el que las personas que practicaron deporte presenciaron eventos deportivos sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 10 horas.
a) [1 punto] Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 25, calcular el porcentaje de personas que presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año.
b) [1 punto] Se elige al azar una muestra de 49 personas y se obtiene una media muestral de 26 horas. Determinar, al nivel de confianza del 98 %, un intervalo de confianza para el número medio de horas que presenciaron eventos deportivos en dicha población.
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**3.1. a) [1 punto] Definir correctamente los sucesos y escribir la información anterior en términos de probabilidad.**
Primero, definimos los sucesos principales basados en el enunciado:
- $D$: La persona ha practicado deporte en el último año.
- $\bar{D}$: La persona no ha practicado deporte en el último año.
- $E$: La persona ha presenciado un evento deportivo.
- $\bar{E}$: La persona no ha presenciado un evento deportivo.
Traducimos los datos a términos de probabilidad:
- $P(D) = 6/10 = 0.6$ (seis de cada diez personas).
- $P(\bar{D}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
- $P(E|D) = 0.85$ (probabilidad de ver eventos entre los que hacen deporte).
- $P(\bar{E}|D) = 1 - 0.85 = 0.15$.
- $P(E|\bar{D}) = 0.70$ (probabilidad de ver eventos entre los que no hacen deporte).
- $P(\bar{E}|\bar{D}) = 1 - 0.70 = 0.30$.
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Comparación de probabilidades condicionadas (Bayes)
**b) [1 punto] Se selecciona una persona al azar y resulta que no ha presenciado ningún evento deportivo. Determinar si es más probable que haya practicado deporte o que no lo haya hecho.**
Nos piden comparar $P(D|\bar{E})$ y $P(\bar{D}|\bar{E})$. Para ello, primero necesitamos la probabilidad total de no haber presenciado eventos, $P(\bar{E})$:
$$P(\bar{E}) = P(D) \cdot P(\bar{E}|D) + P(\bar{D}) \cdot P(\bar{E}|\bar{D})$$
$$P(\bar{E}) = 0.6 \cdot 0.15 + 0.4 \cdot 0.30 = 0.09 + 0.12 = 0.21$$
Ahora calculamos las probabilidades a posteriori usando el Teorema de Bayes:
1. Probabilidad de que practicara deporte sabiendo que no vio eventos:
$$P(D|\bar{E}) = \frac{P(D \cap \bar{E})}{P(\bar{E})} = \frac{0.6 \cdot 0.15}{0.21} = \frac{0.09}{0.21} \approx 0.4286$$
2. Probabilidad de que no practicara deporte sabiendo que no vio eventos:
$$P(\bar{D}|\bar{E}) = \frac{P(\bar{D} \cap \bar{E})}{P(\bar{E})} = \frac{0.4 \cdot 0.30}{0.21} = \frac{0.12}{0.21} \approx 0.5714$$
💡 **Tip:** No era estrictamente necesario calcular el denominador $0.21$ para comparar, ya que solo necesitamos ver cuál de los numeradores ($0.09$ frente a $0.12$) es mayor.
Como $0.5714 > 0.4286$, es más probable que **no haya practicado deporte**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Es más probable que no haya practicado deporte}}$$
Paso 3
Probabilidad Binomial: Exactamente la mitad
**3.2. Se seleccionan 8 personas al azar entre las que no practicaron deporte.**
**a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas hayan presenciado un evento deportivo.**
Estamos en un escenario de distribución Binomial porque tenemos un número fijo de ensayos ($n=8$) y la probabilidad de éxito es constante.
Atención: el enunciado dice que se seleccionan *entre las que no practicaron deporte*. Por tanto, la probabilidad de éxito (presenciar un evento) es la condicionada:
$$p = P(E|\bar{D}) = 0.7$$
Definimos $X$: número de personas que presenciaron un evento de entre las 8 seleccionadas. $X \sim B(8, 0.7)$.
Nos piden $P(X=4)$ (la mitad de 8):
$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
$$P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0.7^4 \cdot (1-0.7)^{8-4} = 70 \cdot 0.7^4 \cdot 0.3^4$$
$$P(X=4) = 70 \cdot 0.2401 \cdot 0.0081 = 0.1361$$
💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X=4) \approx 0.1361}$$
Paso 4
Probabilidad Binomial: Alguna de ellas
**b) [1 punto] Calcular la probabilidad de que alguna de ellas haya presenciado un evento deportivo.**
Seguimos con la misma distribución $X \sim B(8, 0.7)$. "Alguna" significa "al menos una", es decir, $P(X \ge 1)$.
Es mucho más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario (ninguna):
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$$
Calculamos $P(X=0)$:
$$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0.7^0 \cdot 0.3^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0.3^8 = 0.00006561$$
Calculamos el resultado final:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0.00006561 = 0.99993439$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0.9999}$$
Paso 5
Distribución Normal: Probabilidad de más de 30 horas
**3.3. a) [1 punto] Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 25, calcular el porcentaje de personas que presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año.**
Sea $T$ el tiempo en horas. $T \sim N(\mu=25, \sigma=10)$.
Queremos calcular $P(T > 30)$. Tipificamos la variable usando $Z = \frac{T - \mu}{\sigma}$:
$$P(T > 30) = P\left(Z > \frac{30 - 25}{10}\right) = P(Z > 0.5)$$
Como las tablas suelen dar $P(Z \le z)$, usamos el complementario:
$$P(Z > 0.5) = 1 - P(Z \le 0.5)$$
Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor para $0.5$:
$$P(Z \le 0.5) = 0.6915$$
$$P(T > 30) = 1 - 0.6915 = 0.3085$$
El porcentaje es $0.3085 \cdot 100 = 30.85\%$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{30.85\%}$$
Paso 6
Intervalo de Confianza para la media
**b) [1 punto] Se elige al azar una muestra de 49 personas y se obtiene una media muestral de 26 horas. Determinar, al nivel de confianza del 98 %, un intervalo de confianza para el número medio de horas que presenciaron eventos deportivos en dicha población.**
Datos:
- Tamaño de la muestra: $n = 49$
- Media muestral: $\bar{x} = 26$
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 10$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
Si $1 - \alpha = 0.98$, entonces $\alpha = 0.02$ y $\alpha/2 = 0.01$.
Buscamos el valor $z$ tal que $P(Z \le z) = 1 - 0.01 = 0.99$.
En la tabla normal, para una probabilidad de $0.99$, el valor es aproximadamente **$2.33$** (o más preciso $2.326$).
Calculamos el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.33 \cdot \frac{10}{\sqrt{49}} = 2.33 \cdot \frac{10}{7} \approx 3.3286$$
El intervalo de confianza es $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (26 - 3.3286, 26 + 3.3286) = (22.6714, 29.3286)$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I.C. = (22.67, 29.33)}$$