Inferencia estadística: Intervalos de confianza y distribución de la media muestral

**a) Si, para una muestra de 400 pisos de dos habitaciones, con una confianza del 99 %, se ha obtenido $[1174,25; 1225,75]$ como el intervalo para la media de $PA$, ¿cuál es la desviación típica de $PA$? (0,75 puntos)** Primero, extraemos la información del intervalo dado para la media poblacional $\mu$: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Intervalo de confianza (IC): $[1174,25; 1225,75]$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ La media muestral $\bar{x}$ es el punto medio del intervalo: $$\bar{x} = \frac{1174,25 + 1225,75}{2} = \frac{2400}{2} = 1200$$ El error máximo admisible $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{1225,75 - 1174,25}{2} = \frac{51,5}{2} = 25,75$$ 💡 **Tip:** En un intervalo de confianza para la media, la distancia desde el centro (media muestral) hasta los extremos es siempre el error $E$.

Para hallar la desviación típica $\sigma$, usamos la fórmula del error: $$E = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ 1. Hallamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$ ($1-\alpha = 0,99$): - $\alpha = 1 - 0,99 = 0,01$ - $\alpha/2 = 0,005$ - Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. - El valor correspondiente es $Z_{\alpha/2} = 2,575$. 2. Sustituimos en la fórmula del error y despejamos $\sigma$: $$25,75 = 2,575 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{400}}$$ $$25,75 = 2,575 \cdot \frac{\sigma}{20}$$ $$25,75 = 0,12875 \cdot \sigma \implies \sigma = \frac{25,75}{0,12875} = 200$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 200}$$

**b) Si los gastos de gestión representan el 10% del precio de alquiler, usando los datos del apartado anterior, ¿cuál sería el correspondiente intervalo de confianza, al 90%, para la media de dichos gastos de gestión? (1 punto)** Sea $X$ el precio de alquiler ($PA$), donde hemos obtenido $\bar{x} = 1200$ y $\sigma = 200$. Sea $G$ el gasto de gestión, tal que $G = 0,10 \cdot X$. Los nuevos parámetros para la media de los gastos de gestión serán: - Nueva media muestral: $\bar{g} = 0,10 \cdot \bar{x} = 0,10 \cdot 1200 = 120$ - Nueva desviación típica: $\sigma_g = 0,10 \cdot \sigma = 0,10 \cdot 200 = 20$ - El tamaño de la muestra sigue siendo $n = 400$. 💡 **Tip:** Cuando multiplicamos una variable aleatoria por una constante $k$, su media y su desviación típica también quedan multiplicadas por $k$.

Ahora calculamos el intervalo para la media de gastos con una confianza del $90\%$ ($1-\alpha = 0,90$): 1. Hallamos el valor crítico $Z_{\alpha/2}$: - $\alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05$ - Buscamos $P(Z \le Z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. - El valor es $Z_{\alpha/2} = 1,645$. 2. Calculamos el nuevo error $E_g$: $$E_g = Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma_g}{\sqrt{n}} = 1,645 \cdot \frac{20}{\sqrt{400}} = 1,645 \cdot \frac{20}{20} = 1,645$$ 3. Construimos el intervalo: $IC = [\bar{g} - E_g, \bar{g} + E_g]$ $$IC = [120 - 1,645; 120 + 1,645] = [118,355; 121,645]$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = [118,355; 121,645]}$ (en euros)

**c) Usando la media muestral y la desviación típica obtenidas en a), ¿cuál es la probabilidad de que, para una muestra de 25 pisos de dos habitaciones de la referida ciudad, el precio medio de alquiler sea mayor o igual que 1250 euros? (0,75 puntos)** Datos obtenidos en a): - Media poblacional (estimada): $\mu = 1200$ - Desviación típica: $\sigma = 200$ - Nuevo tamaño de muestra: $n = 25$ La media muestral $\bar{X}$ de una población normal $N(\mu, \sigma)$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica de la media (error estándar): $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{200}{\sqrt{25}} = \frac{200}{5} = 40$$ Por tanto, $\bar{X} \sim N(1200, 40)$.

Queremos calcular $P(\bar{X} \ge 1250)$. Tipificamos la variable usando $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$: $$P(\bar{X} \ge 1250) = P\left(Z \ge \frac{1250 - 1200}{40}\right) = P\left(Z \ge \frac{50}{40}\right) = P(Z \ge 1,25)$$ Como la tabla de la normal da valores para $P(Z \le z)$, usamos el complementario: $$P(Z \ge 1,25) = 1 - P(Z \le 1,25)$$ Buscamos $1,25$ en la tabla de la normal $N(0,1)$: $$P(Z \le 1,25) = 0,8944$$ Entonces: $$P(\bar{X} \ge 1250) = 1 - 0,8944 = 0,1056$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0,1056}$$