Probabilidad de tipos de queso e importación

**a) Representar, mediante un árbol de probabilidades, la situación descrita. (0,5 puntos)** Primero, definimos los sucesos principales para organizar la información: - $F$: El queso es de tipo fresco. - $S$: El queso es de tipo semicurado. - $C$: El queso es de tipo curado. - $I$: El queso es de importación. - $\bar{I}$: El queso no es de importación (es nacional). Los datos del enunciado nos dan las probabilidades a priori y las condicionadas: - $P(F) = 0.45$; $P(S) = 0.30$; $P(C) = 0.25$ - $P(I|F) = 0.15 \implies P(\bar{I}|F) = 0.85$ - $P(I|S) = 0.23 \implies P(\bar{I}|S) = 0.77$ - $P(I|C) = 0.40 \implies P(\bar{I}|C) = 0.60$ A continuación, representamos el árbol de probabilidades: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser igual a 1.

**b) Se elige al azar un paquete de queso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de importación? (1 punto)** Para calcular la probabilidad de que un queso no sea de importación ($P(\bar{I})$), utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de que el queso sea nacional para cada uno de los tres tipos (fresco, semicurado y curado): $$P(\bar{I}) = P(F) \cdot P(\bar{I}|F) + P(S) \cdot P(\bar{I}|S) + P(C) \cdot P(\bar{I}|C)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el diagrama en árbol: $$P(\bar{I}) = (0.45 \cdot 0.85) + (0.30 \cdot 0.77) + (0.25 \cdot 0.60)$$ Realizamos las operaciones intermedias: - $0.45 \cdot 0.85 = 0.3825$ - $0.30 \cdot 0.77 = 0.231$ - $0.25 \cdot 0.60 = 0.15$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{I}) = 0.3825 + 0.231 + 0.15 = 0.7635$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{I}) = 0.7635}$$

**c) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado? (1 punto)** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que el queso es de importación ($I$), queremos saber la probabilidad de que sea curado ($C$). Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C|I) = \frac{P(C \cap I)}{P(I)} = \frac{P(C) \cdot P(I|C)}{P(I)}$$ Primero, necesitamos calcular $P(I)$. Como conocemos $P(\bar{I})$ del apartado anterior, podemos usar el suceso contrario: $$P(I) = 1 - P(\bar{I}) = 1 - 0.7635 = 0.2365$$ Ahora calculamos el numerador (queso curado y de importación): $$P(C \cap I) = P(C) \cdot P(I|C) = 0.25 \cdot 0.40 = 0.10$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(C|I) = \frac{0.10}{0.2365} \approx 0.422832...$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando queremos "dar la vuelta" a la condición, pasando de saber $P(I|C)$ a buscar $P(C|I)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|I) \approx 0.4228}$$