Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Inferencia estadística y Distribución Binomial en una cafetería
2B. En una cafetería se pretende implementar una aplicación móvil que permita a los clientes escanear un código QR, ubicado en cada mesa, para realizar pedidos, pagar e incluso llamar al camarero. Para conocer la opinión de los usuarios, se encuestó a una muestra aleatoria de 210 clientes, de los cuales 140 consideraron que este nuevo sistema ayudaría a reducir el tiempo de espera.
a) Determinar un intervalo de confianza, al 98%, para estimar la proporción de clientes que opinan que esta aplicación permitiría reducir los tiempos de espera. ¿Cuál sería el error máximo en la estimación? (1 punto)
b) Si, realizando una nueva encuesta, se quisiese estimar la proporción de clientes que opinan que la aplicación reduciría los tiempos de espera, con un error inferior al 4% y un nivel de confianza del 96%, ¿a cuántos clientes, como mínimo, se debería preguntar si usamos como estimación inicial de la proporción la obtenida en la muestra anterior? (1 punto)
c) De la muestra inicial se seleccionan 9 clientes para una entrevista personal. ¿Cuál es la probabilidad de que entre esos 9 clientes haya al menos 2 que consideran que la aplicación no reducirá el tiempo de espera? (0,5 puntos)
Paso 1
Cálculo de la proporción muestral
**a) Determinar un intervalo de confianza, al 98%, para estimar la proporción de clientes que opinan que esta aplicación permitiría reducir los tiempos de espera. ¿Cuál sería el error máximo en la estimación? (1 punto)**
Primero, identificamos los datos de la muestra:
- Tamaño de la muestra: $n = 210$
- Clientes a favor (éxitos): $x = 140$
Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$) y su complementaria ($\hat{q}$):
$$\hat{p} = \frac{140}{210} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$
$$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$
💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ se obtiene dividiendo el número de casos favorables entre el total de la muestra.
Paso 2
Obtención del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos:
$1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$
Buscamos en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0.01 = 0.99$:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.99$$
Mirando en las tablas, el valor más próximo es:
$$z_{\alpha/2} = 2.33$$
💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja una probabilidad de $\alpha/2$ en cada extremo de la campana de Gauss.
Paso 3
Cálculo del error máximo y el intervalo de confianza
El error máximo de estimación ($E$) se calcula con la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$
Sustituimos los valores:
$$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.6667 \cdot 0.3333}{210}} = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.2222}{210}} = 2.33 \cdot \sqrt{0.001058} = 2.33 \cdot 0.0325 \approx 0.0757$$
Ahora calculamos los extremos del intervalo $( \hat{p} - E, \hat{p} + E )$:
- Límite inferior: $0.6667 - 0.0757 = 0.5910$
- Límite superior: $0.6667 + 0.0757 = 0.7424$
✅ **Resultado (Intervalo y Error):**
$$\boxed{IC = (0.5910, 0.7424) \quad \text{y el error máximo es } E = 0.0757}$$
Paso 4
Determinación del tamaño muestral mínimo
**b) Si, realizando una nueva encuesta, se quisiese estimar la proporción de clientes que opinan que la aplicación reduciría los tiempos de espera, con un error inferior al 4% y un nivel de confianza del 96%, ¿a cuántos clientes, como mínimo, se debería preguntar si usamos como estimación inicial de la proporción la obtenida en la muestra anterior? (1 punto)**
Datos para la nueva encuesta:
- Nivel de confianza $96\%$: $1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$
- Valor crítico: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.98 \implies z_{\alpha/2} = 2.05$ (aproximadamente)
- Error máximo: $E \lt 0.04$
- Estimación inicial: $\hat{p} = 2/3$ y $\hat{q} = 1/3$
Usamos la fórmula del tamaño de la muestra despejada de la fórmula del error:
$$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$
Sustituimos:
$$n = \frac{(2.05)^2 \cdot (2/3) \cdot (1/3)}{(0.04)^2} = \frac{4.2025 \cdot 0.2222}{0.0016} = \frac{0.93388}{0.0016} = 583.68$$
Como el número de clientes debe ser un entero y el error debe ser **inferior** al 4%, redondeamos siempre hacia arriba.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{n \ge 584 \text{ clientes}}$$
Paso 5
Planteamiento de la distribución Binomial
**c) De la muestra inicial se seleccionan 9 clientes para una entrevista personal. ¿Cuál es la probabilidad de que entre esos 9 clientes haya al menos 2 que consideran que la aplicación no reducirá el tiempo de espera? (0,5 puntos)**
Definimos la variable aleatoria $X$: "Número de clientes que consideran que la aplicación NO reducirá el tiempo de espera".
Se trata de una distribución Binomial $B(n, p)$, donde:
- $n = 9$ (número de clientes seleccionados).
- $p$ es la probabilidad de que un cliente piense que **no** reducirá el tiempo. Según el enunciado, 140 de 210 sí lo creen, por lo que $140/210 = 2/3$ es la probabilidad de éxito de "reducir".
- La probabilidad de "no reducir" es $p = 1 - 2/3 = 1/3$.
Por tanto: $X \sim B(9, 1/3)$.
💡 **Tip:** En una distribución binomial $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
Paso 6
Cálculo de la probabilidad mediante el complementario
Nos piden calcular la probabilidad de que haya **al menos 2**, es decir, $P(X \ge 2)$.
Es más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario:
$$P(X \ge 2) = 1 - P(X \lt 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$
Calculamos cada término:
- $P(X=0) = \binom{9}{0} (1/3)^0 (2/3)^9 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{512}{19683} \approx 0.0260$
- $P(X=1) = \binom{9}{1} (1/3)^1 (2/3)^8 = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{256}{6561} = 3 \cdot 0.0390 \approx 0.1170$
Sumamos las probabilidades:
$$P(X \lt 2) = 0.0260 + 0.1170 = 0.1430$$
Finalmente:
$$P(X \ge 2) = 1 - 0.1430 = 0.8570$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 2) = 0.8570}$$
💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{0} = 1$ y $\binom{n}{1} = n$.